CHAPITRE III

La multiplication est une opération qui a pour but de prendre un nombre autant de fois qu'il est marqué par un autre.

45, Voyons maintenant à quelle règle on est conduit

pour l'exécution de l'opération, et bornons-nous aux cas

de deux fractions.

Soit à multiplier — par - — > c'est-à-dire , d'après la défî-

/^ ^] 8 i5 nition adoptée, soit proposé de prendre les — de Gela

se fera en en prenant d'abord le onzième, puis le répétant

8 fois. Le onzième s'obtiendra en multipliant le dénomi-

,5 nateur par 11, ce qui donnera 5 et l'on prendra ce

résultat 8 fois en multipliant le numérateur par 8, ce qui

i5.8 donnera — '- — D'où se conclut cette rèsfle, que pour mul- 19.11 t^ ^ 1

tiplier deux expressions fractionnaires plus petites ou plus

grandes que l'unité, il faut multiplier les numérateurs

entre eux et les dénominateurs entre eux.

Extension des théorèmes. — Le produit de deux nombres entiers ne changeant pas quand on intervertit les facteurs, et le produit de deux fractions étant ramené aux produits de leurs termes respectifs, il s'ensuit que le produit de deux fractions ne change pas non plus quand on intervertit l'ordre de la multiplication.

Et il en serait de même pour un nombre quelconque de facteurs fractionnaires ou entiers.

46. Les autres théorèmes que nous avons démontrés sur les produits s'étendront semblablement aux fractions. Ainsi, par exemple, nous avons vu que, si l'on multiplie un nombre entier par le produit effectué de plusieurs autres, on aura le même résultat que si l'on multiplie ce nombre par le

premier facteur du produit, puis le résultat par le second facteur, et ainsi de suite.

Pour étendre ce théorème au cas des fractions , on représentera le multiplicande par une fraction, par exemple

— j et par 7^? -5 - celles dont on a à considérer le produit II ^ 5 7 9 A

qui sera — ^ — — • Il s'asrira alors de démontrer que — multi- ^ 5.7.9 ^11

plié par ce produit est égal à ce que l'on obtiendrait en multipliant — par ^, puis le produit par - et le résultat par -•

Or, pour multiplier y par ^ — — ; il faut multiplier les numérateurs entre eux, ainsi que ïes dénominateurs, ce qui donne, d'après les n*^^ 30 et 31,

or, c'est précisément cela qu'on trouvera en faisant les

multiplications successives de — par -> -j -• Le théorème

est donc démontré. L'extension des autres théorèmes se ferait de la même manière.

47. De la division. — Cette opération ne pourra plus être considérée comme ayant pour but de partager le dividende en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur. Mais l'un des points de vue que nous avions indiqués dans le cas des nombres entiers peut être conservé pour les nombres quelconques, et la définition générale peut être ainsi conçue :

La dwlsion a pour but de trousser un nombre qui, multiplié par' le di{^iseur, reproduise le di^idejide.

Cette définition est applicable aux nombres fractionnaires comme aux nombres entiers, et servira à généraliser les propositions démontrées pour ces derniers. Il est inutile