CHAPITRE V

proposition, que des surfaces très-peu différentes de celles des deux cercles, sont comme les carrés de leurs rayons.

Cet aperçu vague indique la route à suivre; mais il y avait de grands efforts à faire pour arriver au résultat par des raisonnements rigoureux. Nous expliquerons avec quelque détail la solution de cette question, donnée par Euclide, parce qu'elle offre le premier exemple d'une grande conception, que les modernes ont adoptée en en simplifiant l'application, sans la changer au fond, et sans y avoir rien introduit qui eût échappé à la sagacité des anciens géomètres.

Cette conception consiste à regarder les quantités que l'on veut comparer comme limites de quantités variables d'espèce plus simple, et qui se prêtent plus facilement aux comparaisons. La relation entre ces nouvelles quantités est plus facile à trouver, et sa recherche constitue une question plus simple, à laquelle il reste à ramener la première.

Celte méthode se compose donc de trois parties distinctes :

1° Choisir les quantités d'espèce plus simple dont les proposées soient les limites ;

1^ Chercher la relation entre ces quantités auxiliaires;

3" Passer de cette relation à celle des quantités proposées.

Nous allons exposer la manière dont Euclide remplit ces trois objets successifs dans la question de la comparaison des cercles. Cela suffira pour faire comprendre l'esprit général de la méthode, dont nous donnerons bien d'autres exemples tirés des écrits des anciens; et nous montrerons ensuite comment les modernes l'ont simplifiée.

362. T. a surface cVun cercle est la limite de celle de polygones réguliers inscrits.

Nous rappellerons que nous avons appelé limite d'une

D. — Se. de rais., 2« Part. 25

â86 SCIENCE DE l'étendue.

grandeur variable une grandeur constante telle, que la différence entre elle et la variable puisse devenir et rester moindre que toute grandeur désignée.

Or Euclide a démontré que si l'on considère un polygone régulier inscrit dans un cercle, et que l'on double indéfiniment le nombre de ses côtés, l'aire du polygone, qui augmente continuellement, peut finir par différer de celle du cercle d'une quantité moindre que toute surface désignée; d'où il suit que cette aire est une variable dont la différence avec l'aire constante du cercle peut devenir et rester moindre que toute quantité désignée, et que, par conséquent, l'aire du cercle en est la limite.

Euclide part du carré inscrit et passe successivement aux polvgones de huit côtés, de seize côtés, de trente-deux, et ainsi de suite. L'aire de chacun de ces polygones diffère moins de celle du cercle que n'en différait celle du précédent, et cette différence se réduit toujours de plus de moitié en passant d'un quelconque de ces polygones au suivant, parce que les triangles que l'on ajoute dans chaque segment sont plus de la moitié de ce segment, puisqu'ils sont exactement la moitié du rectangle qui aurait la base et la hauteur de ce segment, et lui serait évidemment supérieur. Or il a démontré antérieurement que si d'une grandeur quelconque on ôteplus de la moitié, que du reste on ôte plus que sa moitié, et ainsi de suite indéfiniment, les restes finiront par devenir moindres que toute grandeur désignée. Il en résulte donc qu'en partant de n'importe quel polygone régulier inscrit dans un cercle, sa différence avec le cercle est une grandeur fixe dont on ôte plus de la moitié en doublant une première fois le nombre des côtés. Il en sera de même du nouveau reste, en doublant le nombre des côtés du nouveau polygone, et ainsi de suite. Ces polygones successifs diffèrent donc du cercle de quantités qui peuvent devenir et rester moindres que toute quantité don-