CHAPITRE V

née. Z^ cercle en est donc la limite. On voit qu'il n'est nullement nécessaire de commencer comme Euclide par le carré inscrit. Il y voyait probablement l'avantage de l'uniformité de raisonnement depuis le premier polygone, qui était lui-même plus grand que la moitié du cercle entier.

Il est bon de remarquer qu'on aurait pu également con-^ sidérer les polygones circonscrits et partir d'un polygone régulier quelconque. L'excès de sa surface sur celle du cercle serait diminué de plus que sa moitié, en passant au polygone d'un nombre de côtés double ; de sorte qu'en continuant indéfiniment cette opération, l'excès sur le cercle peut devenir moindre que toute quantité donnée, et, par conséquent, le cercle est la limite des polygones réguliers eirconscrits.

Dans les Traités modernes, cette propriété du cercle se démontre ordinairement par la considération simultanée des polygones inscrits et circonscrits. En les prenant semblables, on démontre facilement que leur différence tend vers zéro, et qu'il en est de même, par conséquent, de la différence de chacun de ces polygones au cercle, qui est compris entre eux.

Si l'on ne veut pas faire servir les polygones inscrits et circonscrits à donner par leur différence une limite supérieure à leur différence au cercle, mais seulement à démontrer que la surface du cercle est la limite de celle de polygones réguliers, la démonstration d'Euclide serait peut-être préférable.

363. Les surfaces de deux cercles sont entre elles comme les carrés des rayons.

Euclide ayant démontré que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont comme les carrés des rayons des cercles circonscrits, et que les polygones inscrits dans un cercle peuvent en différer de moins que toute

388 SCIENCE DE l'étendue.

grandeur désignée, apercevait sans aucun doute que les cercles eux-mêmes sont comme les carrés de leurs rayons ; mais il était nécessaire d'en donner une démonstration rigoureuse, surtout dans un temps où l'on trouvait des sophistes qui niaient des choses bien plus évidentes, et appuyaient leurs opinions des raisonnements les plus subtils et les plus bizarres.

C'est par la méthode de réduction à l'absurde qu'il obtenait cetta rigueur; et voici comment il procédait :

Si le rapport des carrés des rayons R, R' n'est pas égal à celui des surfaces S, S' des deux cercles, il sera plus grand ou plus petit. Dans le premier cas, il serait égal au rapport de S à une surface plus petite que S'; dans le second, il serait égal au rapport d'une surface plus petite que S à la surface S'. On est donc ramené à démontrer que le rapport des carrés des rayons ne peut être égal à celui de l'un des deux cercles à une surface moindre que l'autre.

Pour cela, supposons que l'on ait

S étant moindre que S, nous allons voir que cela conduit à une absurdité.

En effet, concevons dans les deux cercles deux polygones réguliers inscrits, d'un même nombre de côtés. Soient P, P' leurs surfaces ; on aura

Or on pourra supposer le nombre des côtés de ces polygones assez grand pour que leurs surfaces diffèrent aussi peu qu'on voudra de celles des cercles, et que, par conséquent, P' surpasse 2, qui est une quantité fixe moindre que S'; et alors les deux proportions sont incompatibles, puisqu'elles conduisent à la suivante :