PRINCIPE FONDAMENTAL

365. Une variable ne peut tendre iwrs deux limites di^ér entes.

Cette proposition ne serait pas vraie si par limite on entendait seulement une constante telle, que sa différence avec la variable pût devenir moindre que toute grandeur donnée, et qu'on n'ajoutât pas que cette différence restera moindre que cette grandeur, dans la suite indéfinie de valeurs qu'elle prendra ensuite. En effet, sans cette condition, que nous avons expressément exigée dans la définition de limite, une variable' pourrait, après s'être approchée d'une certaine constante, s'en éloigner pour s'approcher d'une autre constante, et revenir ainsi de l'une à l'autre, de telle manière que sa différence avec ces deux constantes devînt alternativement au-dessous de toute grandeur donnée; mais, avec la condition nécessaire que nous venons de rappeler, il est facile de voir que cela n'est plus possible.

Supposons, en effet, qu'une variable ait deux limites A et B qui aient entre elles une différence D, et soit A une quantité moindre que la moitié de D ; il est évident que les intervalles compris d'une part entre A-|- A et A — û, et d'une autre part entre B-hA et B— -A, n'ont rien de commun, c'esl-à-dire qu'aucune grandeur ne peut être dans l'un et dans l'autre à la fois. Or, une variable qui aurait pour limite A devrait finir par rester dans le premier intervalle, et, si elle avait aussi B pour limite, elle devrait aussi finir par rester dans le second. Elle serait donc à la fois dans les denx, ce qui est absurde.

Donc une variable ne peut avoir deux limites inégales.

GHAPITRR V. 39)

COMMENT ON PASSE d'uNE BELATION ENTRE DES VARIABLES A UNE RELATION ENTRE LEURS LIMITES.

366. Toute relation entre des grandeurs peut généralement se ramener à une égalité ou une inégalité entre certaines expressions qui en dépendent. Nous ne nous occuperons ici que des premières.

Considérons donc une égalité dans les deux membres de laquelle des variables, tendant vers des limites, se trouvent combinées entre elles et des constantes par des opérations quelconques, par exemple d'addition et soustraction seulement, s'il s'agit de quantités concrètes; et de multiplications, divisions, etc., si elles sont censées réduites en nombre. La première question qui doit nous occuper consistera à déterminer la limite des sommes, différences, produits, quotients, racines, etc., de variables dont on connaît les limites.

367. Nous pourrions examiner successivement les diverses opérations auxquelles les variables peuvent être soumises, et faire une démonstration pour chacune; mais ce serait inutile, parce que toutes les conclusions qui s'y rapportent découlent immédiatement de ce qui a été établi dans la science des nombres, relativement à la continuité. Nous avons en effet démontré que si, dans une fonction de diverses quantités, on concevait deux systèmes de valeurs pour ces quantités, on pouvait supposer une assez petite différence entre ces valeurs respectives, pour que la différence des deux valeurs de la fonction fût moindre que toute grandeur donnée. Il résulte de là que les variables Xy^y z,...,u peuvent différer assez peu de leurs limites a, Z>, c, ... / pour que la fonction des premières soit aussi peu différente qu^on voudra de la même fonction des secondes, et que par

392 SCIENCE DE l'étendue.

conséquent cette dernière est la limite de la première. D'où l'on déduira cette proposition générale :

Si des variables tendent vers des limites finies^ toute fonction de ces variables^ tendra vers la même fonction de ces limites.

Et si, dans un cas particulier, la fonction des variables était constante, cette valeur constante serait égale à la même fonction des limites. Car leur différence pouvant être démontrée au-dessous de toute grandeur, et étant constante, ne peut être que zéro.

iV^. B. Nous excluons le cas où une des limites serait zéro, parce que si la variable correspondante était en diviseur, et qu'il y eût en facteur une quantité devenant nulle en même temps, les raisonnements précédents ne s'appliqueraient plus. Ce cas très-important sera considéré plus tard.

368. On voit, d'après cela, comment, ayant une relation entre des variables quelconques, on peut en obtenir une entre leurs limites.

En effet, cette relation étant supposée réduite à une égalité entre deux fonctions des variables, et les limites de deux quantités égales étant égales, il s'ensuit que les limites des deux membres de l'égalité sont égales ; mais ces limites s'obtiennent en remplaçant les variables par leurs limites. D'où se conclut cette proposition ;

Quand on a une relation entre des variables qui ont des limites finies, on en aura une entre leurs limites en substituant simplement ces limites aux variables.

Dans le cas particulier où les deux membres de la relation seraient constants, il a été démontré qu'ils seraient respectivement égaux aux résultats de la substitution des imites aux variables ; et, par conséquent, ces résultats se-