CHAPITRE V

raient égaux, puisque les deux membres le sont. La conclusion est donc la même que lorsque ces membres sont variables.

369. En quoi consiste la méthode des limites. — En réunissant les propositions que nous venons d'établir, on obtient la méthode générale que nous allons formuler :

« Lorsque l'on veut obtenir une relation entre des quantités qui peuvent être considérées comme limites de quantités variables d'une espèce plus simple, on cherchera d'abord la relation entre ces dernières et les données, et peut-être encore certaines autres variables auxiliaires.

» Si cette relation est obtenue, on en aura une autre en substituant à toutes les variables leurs limites; et l'on aura ainsi une relation entre les quantités proposées. » Le problème sera donc résolu.

370. Remarque. — Cette méthode, comme on le voit, ne diffère de celle qu'on trouve dans les ouvrages d'Euclide et d'Archimède que par la manière de démontrer la relation entre les limites des quantités entre lesquelles on a trouvé une relation. Dans la méthode des limites que nous venons d'exposer, on démontre généralement, quelle que soit la forme de cette relation, qu'on en aura une exacte en remplaçant les variables par leurs limites, ce qui donne la relation entre les quantités proposées. Dans la méthode des anciens on commence de même par considérer les quantités proposées comme limites d'autres plus simples, et par chercher la relation entre ces dernières. Pour les inventeurs elle entraînait immédiatement celle entre les limites, et la méthode des modernes n'a en cela aucun avantage sur celle des anciens; mais, quand ils l'avaient découverte, ils n'osaient pas la communiquer aux autres de la même manière, crainte des objections subtiles des sophistes, et ils la posaient comme un théorème à démontrer, sans parler

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des moyens par lesquels ils jetaient parvenus. S'appuyant alors sur la relation trouvée entre les quantités variables, et sur la propriété qu'elles avaient de pouvoir différer des proposées d'une quantité moindre que toute grandeur donnée, ils démontraient que la relation ne pouvait être autre que celle qu'ils annonçaient, parce que toute autre supposition conduirait à des absurdités ou des contradictions.

La méthode des modernes est donc préférable. Elle donne une manière générale et uniforme de passer de la relation des variables à celle des quantités proposées ; tandis que les anciens étaient obligés de faire des raisonnements différents pour les différentes questions, et que la marche de la réduction à l'absurde est pénible, et ne montre pas comment la vérité a été trouvée ; elle fatigue celui qui apprend et ne l'éclairé pas. Mais ce passage de la première relation à la seconde était fait par les inventeurs, comme il l'est aujourd'hui; et ce n'est qu'après l'avoir fait qu'ils pouvaient poser l'énoncé de leurs théorèmes; le perfectionnement fait par les modernes est donc utile plutôt à ceux qui apprennent qu'à ceux qui découvrent.

DIVERSE» MANIÈRES DONT LES QUANTITl^IS PEUVENT ETRE CONSIDÉRÉES COMME LIMITES.

371 . Il arrive quelquefois qu'on aperçoit immédiatement une grandeur d'une espèce plus simple que la proposée, et qui puisse en différer aussi peu qu'on voudra : par exemple, s'il s'agit d'un cercle, on démontre facilement que l'on peut approcher indéfiniment de sa surface au moyen de polygones réguliers inscrits ou circonscrits, parce que la différence entre deux polygones semblables inscrits et circonscrits peut elle-même devenir moindre que toute quantité donnée. Mais, dans la plupart des cas,

CHAriTiiE V. 3gÔ

les variables d'espèee plus simple ne se présentent pas aussi facilement, et nous allons faire connaître les procédés généraux dont on fait usage pour cette recherche.