DES QUANTITÉS COKSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SÉRIES

372. Nous avons vu qu'Eu clide, pour approcher de plus en plus de la surface du cercle, commence par y considérer le carré inscrit, auquel il ajoute les quatre triangles ayant pour bases les côtés de ce carré, et pour sommets les milieux des arcs sous-tendus; à cette somme il ajoute huit nouveaux triangles, ayant pour bases les côtés de l'octogone formé par les précédents, et continue ainsi indéfiniment ; puis il prouve très-simplement que ce qui reste du cercle, en enlevant le carré et cette suite de triangles, peut devenir moindre que toute quantité donnée, et que par conséquent par ce procédé on tend de plus en plus à épuiser la surface du cercle, de sorte que la limite serait l'épuisement complet.

Ainsi Euclide ne considère pas directement les surfaces des polygones dont le nombre des côtés se double toujours, mais ce qui s'ajoute successivement à la surface de chacun d'eux pour avoir celle du suivant; de telle sorte que lé cercle est considéré comme la limite d'une somme de termes en nombre indéfiniment croissant, dont le premier est le carré inscrit, le second la somme des quatre triangles de premier ordre, le troisième la somme des huit triangles de second ordre, et ainsi de suite.

En considérant d'une manière générale ce procédé dont les anciens nous ont donné bien des exemples, on voit qu'il consiste à ôter d'abord de la quantité proposée une partie déterminée d'espèce plus simple ; puis à ôter de ce qui reste une nouvelle quantité fixe comme la première,

396 SCIENCE DE L*ÉTENDUE

ce qui donne lieu à un nouveau reste, dont on ôte encore une nouvelle quantité fixe, et ainsi de suite.

Si le reste, après un certain nombre d'opérations de ce genre, devient et demeure au-dessous de toute quantité donnée, la quantité proposée peut être regardée comme limite de la quantité variable qui serait la somme des termes, en nombre indéfiniment croissant, qu'on en a successivement enlevés, et qui constituent ce que dans la science des nombres nous avons appelé une séiie.

Nous emprunterons aux anciens plusieurs exemples de ce procédé : les modernes en ont fait un usage bien plus étendu sans doute, mais le principe était posé du temps d'Euclide.

DES QUANTITÉS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES d'infiniment PETITS.

373. Archimède a couçu une autre manière d'envisager les grandeurs comme des limites. Il a pris pour variable, non plus la somme de grandeurs invariables chacune, comme dans les séries, mais variables chacune, et décroissant de manière à pouvoir devenir moindres que toute grandeur donnée. Il démontrait que cette somme, dont le nombre des parties croît indéfiniment, à mesure que leur grandeur diminue, peut finir par diff*érer de la quantité proposée de moins que toute grandeur désignée ; c'est-à-dire, suivant notre langage, qu'il démontrait que cette quantité serait la limite de la somme des quantités décroissantes, dont le nombre augmenterait indéfiniment.

Nous appellerons quantité injîniment petite ou simplement infiniment petit, toute grandeur variable dojit la lindte est zéro.

Le point de vue que nous venons d'indiquer, et dont il