CHAPITRE V

estjusle de regarder Archimède comme Finventeur, consiste donc à considérer les grandeurs comme limites de sommes d'infiniment petits.

Nous donnerons bientôt des exemples, tirés des anciens et des modernes, de ces deux manières d'envisager les grandeurs comme limites de variables.

DES GRAKUELUS CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE RAPPORTS d'iKFIKIMENT Pi;,TlTS.

374. Nous allons encore indiquer une dernière conception toute moderne, et qu'on doit réellement considérer comme entièrement due à Descartes.

Ce grand géomètre y est parvenu à l'occasion d'une des plus importantes questions de la Géométrie dont il a donné le premier une solution générale. Elle consiste à regarder la quantité qu'on cherche comme étant la limite du rapport de deux infiniment petits. Nous donnerons quelques applications de cette conception, qui est une des plus grandes et des plus utiles de la science moderne, et que les successeurs de Descartes ont considérablement étendue.

PllIKClPE FONDAMENTAL DANS l'eMPLOI DES INFINIMENT PETITS.

37o. Dans toutes les circonstances où Archimède a employé les infiniment petits, il considère deux sommes, l'une plus grande, l'autre plus petite que la quantité proposée; et non-seulement ces conditions sont remplies pour les sommes entières, elles le sont encore pour les éléments correspondants.

Ainsi, par exemple, dans le cas de la spirale, les deux secteurs élémentaires compris entre deux droites consécutives sont l'un plus petit, l'autre plus grand que la portion

3l,8 science de l'étendue.

de Faire cherchée qui s'y trouve comprise. Dans le cas du conoïde parabolique, deux plans consécutifs comprennent deux cylindres élémentaires et une portion du solide moindre que l'un et plus grande que l'autre ; et il en est de même des autres questions. Et ce n'est que parce que ces conditions sont remplies pour chaque élément qu'il est démontré qu'elles le sont pour les sommes.

Or il arrive souvent qu'en décomposant la grandeur en parties indéfiniment décroissantes, chacun de ces éléments ne peut facilement être démontré compris entre les deux éléments infiniment petits des sommes, d'espèce plus simple. C'est ce qui arriverait, par exemple, dans le cas du conoïde, si l'on donnait aux arêtes des cylindres une direction telle, qu'ils eussent toujours une partie en dedans et une partie en dehors de la portion de conoïde comprise entre leurs bases. On a pu éviter la difficulté dans ce cas ; on ne le pourrait pas pour des solides de toutes les formes.

Or l'emploi des infiniment petits est aussi commode et aussi sûr dans tous les cas possibles, au moyen d'un principe très-simple que nous allons démontrer, et qui dispense de la considération des sommes et permet de s'occuper seulement d'un élément général.