PRINCIPE FONDAMENTAL DES INFINIMENT PETITS

376. La limite de la somme ou du ? apport de quantités infiniment petites nest pas changée lorsquon remplace ces quantités par d^ autres, dont les rapports avec elles ont respectivement pour limites Vunité.

1° Soient, en effet, les infiniment petits

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dont la somme tend vers une limite à mesure que leur

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nombre augmente indéfiniment. Soient d'autres infiniment petits

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tels, que les rapports

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aient tous pour limite l'unité.

On sait que, si l'on a une suite de rapports dont les termes soient considérés dans leur valeur absolue, ce qui est le cas que nous supposons ici, la somme des antécédents divisée par la somme des conséquents est comprise entre le plus petit et le plus grand de ces rapports. 11 suit de là que le rapport

«1 4- g^ + «3 -h . . . + gyt 61 -f- §2 4- 63 -î- . . . + 6,;t

sera compris entre le plus petit et le plus grand des premiers, et par conséquent aura aussi pour limite l'unité ; d'oii résulte nécessairement que la sommeil H-oo-f-. . .-f-^m a la même limite que «j-f-ao-H» • '-^^iw c. Q. r. d.

Remarcjue. — Si l'une des sommes était constante, l'autre aurait pour limite cette constante, sans quoi le rapport n^aura pas pour limite l'unité.

2** Supposons en second lieu qu'il s'agisse du rapport de

deux infiniment petits a, ê ; et soient a', oMeux infiniment

petits différents des premiers, mais tels, que les rapports

— > --aient pour limite l'unité; ce qui entrain qu'il en est

de même des rapports réciproques — ? — ? puisqu'en général a I A> ^ V " '

lim — a

4oO SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

Nous allons démontrer que la limite de - est la même que celle de ^'

En effet, on a identiquement

Les limites de ces deux variables égales sont égales ; et comme la limite d'un produit est le produit des limites des

facteurs, et que la limite de chacun des deux facteurs est l'unité, on aura

Jim- j= lim — • C.Q.F.D.

377. Le principe peut s'énoncer d'une autre manière, au moyen de la proposition suivante :

Lorsque la limite du rapport de deux quantités est V unité, leur dijfférence est injiniuient petite par rapport à Vune quelconque des deuxj c'est-à-dire que le rapport de cette différence à Vune quelconque de ces quantités a pour limite zéro.

Et réciproquement : si la différence de deux quantités est iîijiniment petite par rapport à Vune d^ elles, la limite de leur rapport est V unité.

Soient, en effet, a et a' deux quantités quelconques, et d leur différence, on aura

d'où

a' CL

Donc, si la limite de — est l'unité, celle de — est zéro ; et réa a