CHAPITRE V. 4oï

ciproquemenl. Il est de plus évident que, si l'un des rapports -9 -7 tend vers zéro, il en est de même de l'autre,

puisque J, étant la différence de a et a', est compris dans l'un une fois de plus seulement que dans l'autre.

Le principe fondamental peut donc s'énoncer de cette autre manière :

La limite d'une somme ou d'un rapport d'infiniment petiû n'est pas changée, quand on les remplace par d'autres qui en dijjèrent respectivement de quantités infiniment petites par rapport à eux.

Remarque. — Le grand avantage que l'on retire de ce principe consiste en ce qu'il permet souvent de négliger, dans les quantités infiniment petites, la partie qui en rend la comparaison et le calcul difficiles. Il suffit toujours que cette partie soit infiniment petite relativement à la quantité elle-même, et il n'en résulte aucune erreur dans les résultats où l'on n'a en vue que les limites des rapports ou des sommes de ces quantités infiniment petites.

Nous allons en faire l'application aux questions générales les plus importantes de la Géométrie.

COMMENT LES AIRES DES COURBES PLANES PEUVENT ETRE CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES d'iNFINIMENT PETITS.

378. Sommes de parallélogrammes infiniment petits. — Considérons une surface plane limitée par des arcs de courbes quelconques ; divisons-la par un système de parallèles dont les distances soient dans des rapports arbitraires, mais tendent toutes vers zéro. La somme des aires comprises entre ces parallèles successives est toujours identique avec l'aire cherchée; et chacune de ces aires élémentaires offre la même difficulté que la proposée, puisqu'elle renferme des courbes dans son périmètre.

D. — Se. de rais. y 2* Part. 26

402 SCIENCE DE l'ÉÏENDUE.

Mais si à cliacune de ces aires élémentaires on supprime ou l'on ajoute des parties infiniment petites par rapport à ces aires respectives, et qui fassent disparaître la partie courbe de leur périmètre, la limite de la somme de ces nouvelles aires plus simples sera l'aire cherchée, d'après le principe général. Le moyen le plus commode d'obtenir ce résultat consiste à mener, par les extrémités de chacune des cordes, des parallèles à une même direction arbitraire, terminées à la corde suivante. Soient, en effet, /tzzz, mV deux parallèles consécutives quelconques : en menant par les extrémités ni! ^ n' (fig- 4^) des parallèles w'H', n'V à une direction choisie à volonté, on retranche les parties n'Vn,

Fig. 4o.

m'Wm; en menant les parallèles 77iH, ni par les extrémités m, n, on ajouterait, au contraire, les parties niHni', nn'l. Or, deux de ces quatre parties sont moindres que le parallélogramme nln'Y, et les deux autres moindres que le parallélogramme m H m' H'; ces deux parallélogrammes sont infiniment petits par rapport au parallélogramme ni'H' n'V , qui est moindre que le segment de la courbe, car leurs rapports à m'W n'I' sont les mêmes que ceux de Jeurs bases niH' . nV à la base HT, et ces derniers tendent vers zéro, puisque, les parallèles imij ni! i^ se rapprochant indéfiniment, nilA' et nV tendent vers zéro, tandis que HT reste fini. Il suit de là que les rapports des parallélogrammes HH', \V au segment de la courbe ont pour limite zéro; il en est de même, à plus forte raison, des triangles formés par les arcs nwi' , miL j et, par conséquent, l'aire de la courbe est la limite de