CHAPITRE V. ^o

la somme des parallélogrammes ayant pour bases les cordes parallèles, pour hauteurs leurs distances, et pouvant être entièrement intérieurs ou en partie extérieurs à cette aire.

On peut même remarquer qu'il n'est pas nécessaire que les sommets des parallélogrammes soient aux extrémités mêmes des cordes : il suffit qu'ils soient en des points infiniment voisins de ces extrémités ; il n'est même pas nécessaire que ces parallélogrammes soient contigus, pourvu que l'intervalle entre deux consécutifs soit infiniment petit par rapport aux hauteurs infiniment petites de ces parallélogrammes, car cela revient à retrancher de chaque élément une partie infiniment petite par rapport à lui-même. Cette considération générale, dont l'exactitude résulte du principe fondamental, s'applique à tout ce qui suit.

Pour abréger, nous représenterons une somme de termes

ayant une même expression générale par le signe ^ suivi de cette expression. Ainsi, u désignant une corde quelconque, et a la distance de deux cordes consécutives, ^,ua représentera la somme des aires des parallélogrammes variables, et lim \^Ma représentera la limite de leur somme, ou Taire de la courbe.

379. Sommes de trapèzes infiniment petits. — Au lieu de supposer les lignes mH, m'H', «I, zzT parallèles à une direction fixe, on pourrait les mener dans des directions différentes les unes des autres; il suffît qu'elles fassent toujours un angle fini avec les cordes. En effet, la figure nln'V deviendra un trapèze dont les bases n'I, nV seront infiniment petites, puisque les lignes n'V, n\ font avec mn des angles finis, et que la hauteur du trapèze est infiniment petite ; la mesure de ce trapèze a donc un rapport infiniment petit avec celle du trapèze intérieur m'W n'V , et, par conséquent, avec le segment même de la courbe. Il en

4o4 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

serait de même du trapèze inlrLm'Ji'. Si donc, au lieu de ce segment, on prend un des trapèzes ayant pour base mn, m'n', mV ou jiH', on ne fait qu'ajouter ou retrancher à l'élément exact de l'aire cherchée une quantité infiniment petite par rapport à cet élément, et la limite de la somme de ces trapèzes sera précisément égale à la somme des éléments exacts de cette aire ou à cette aire elle-même.

Le cas le plus simple est celui des trapèzes inscrits dans le segment : les côtés non parallèles sont alors les cordes 77277z', n7i\ Il peut aussi être quelquefois utile de faire concourir toutes les lignes m H, m' H', ni, n'V vers un même point; et c'est ce qu'a fait Archimède dans une de ses méthodes pour la quadrature de la parabole.

380. Sommes de secteurs infiniment petits. — Il n'est pas nécessaire de supposer parallèles les cordes qui divisent l'aire en éléments infiniment petits. On peut assujettir leurs directions à une loi quelconque, suivant les circonstances ; la seule condition nécessaire est de n'ajouter ou retrancher à chaque élément exact qu'une quantité infiniment petite par rapport à lui.

Une des lois les plus simples est celle qui fait passer toutes les cordes par un même point. Soient O ce point {fig- 40'

Fig. 4r.

et Om, Om' deux sécantes faisant entre elles un angle infiniment petit; la somme des éléments Om!m est identique avec l'aire cherchée, si le point O est dans son intérieur el que le contour n'offre pas de sinuosités ; cette aire sera la