CHAPITRE Y

limite de la somme des aires que l'on obtiendra en ajoutant ou retranchant à chacun de ces éléments une quantité infiniment petite par rapport à lui.

Cette modification des éléments exacts, et qui a toujours pour objet de les simplifier, peut être faite de bien des manières différentes. On pourrait mener par m, ni des droites, dans des directions déterminées, et substituer les triangles rectilignes à l'élément exact. On pourrait aussi, au lieu de lignes droites, mener des courbes arbitraires ; mais ce qui est ordinairement le plus simple, c'est de décrire des arcs de cercle ayant O pour centre, et c'est ce qu'a fait Archimède dans sa quadrature de la spirale.

Il est facile de voir, en effet, que le rapport des deux secteurs circulaires semblables ayant pour rayons Ow, Om', étant celui des carrés de ces lignes, a pour limite l'unité, et que, par conséquent, leur différence est infiniment petite par rapport à ces secteurs. Or l'un de ces secteurs est compris entièrement dans l'élément Oni'm, et celui-ci est compris entièrement dans l'autre secteur; car on peut supposer l'angle O assez petit pour que les rayons vecteurs de la courbe croissent ou décroissent constamment de m en ni'. Donc le rapport de chacun des deux secteurs à l'élément exact de l'aire a aussi pour limite l'unité; et l'aire cherchée est la limite de la somme des secteurs circulaires infiniment petits, intérieurs ou extérieurs.

Si le point O n'était pas dans l'intérieur de l'aire proposée, celle-ci serait la différence de deux aires auxquelles ce point appartiendrait, et que l'on considérerait séparément, comme on vient de le dire. Peut-être même y auraitil plusieurs différences ; cela dépend de la forme du contour. On pourrait aussi prendre la différence de deux secteurs compris entre les mêmes rayons, et chercher la limite de la somme de ces différences.

Au lieu de supposer que les cordes passent par un même

4o6 SCIENCE LE l'ÊTENDUE.

point, on pourrait les mener tangentes à une courbe donnée; on pourrait les assujettir à d'autres lois encore: toutes ces généralisations n'offrent aucune difficulté, quand on a bien saisi les principes précédents, et nous ne nous y arrêterons pas.

Remarque. — Lorsqu'on connaît ki nature de la courbe qui termine la surface à évaluer, et le mode de décomposition en éléments infiniment petits, les quantités plus simples qu'on substitue à ces éléments peuvent s'exprimer par une même formule, et la question géométrique est ramenée à une sommation qui est du ressort de la science des nombres. Cette question, généralement très-difficile, se rapporte à des théories que nous ne nous proposons pas d'étudier ici ; elles sont du ressort des Traités spéciaux de Calcul infinitésimal.

Néanmoins, nous donnerons ici quelques exemples simples de la méthode que nous venons d'exposer.

COMMENT LES VOLUMES DES CORPS PEUVEJVT ETRE CONSIDÉRÉS COMME LIMITES DE SOMMES d'iNFI]\ IMENT PETITS.

381. Solides de révolution. — Supposons une surface plane quelconque tournant autour d'un axe AX [Jig- /\i)

ig. /|2.

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situé dans son plan, et proposons-nous de calculer la portion du volume engendré qui sera comprise entre deux