CHAPITRE V

plans quelconques perpendiculaires à AX. Ces plans peuvent être considérés comme engendrés par des perpendiculaires MP, NQ; les deux surfaces courbes qui terminent le volume à mesurer sont engendrées par des arcs de courbes données MN, M'N', et ce volume est la différence de deux autres engendrés respectivement par les quadrilatères MINPQ, M' N'PQ. Bornons-nous donc au calcul d'un quelconque de ces derniers, par exemple à celui qu'engendre MNPQ.

Décomposons ce volume au moyen d'une suite de plans perpendiculaires à l'axe, infiniment voisins les uns des autres, et substituons à ces éléments, dont la somme est constamment égale à ce volume même, d'autres éléments d'une espèce plus simple et tels, que le rapport de chacun d'eux à son correspondant ait pour limite l'unité. La limite de la somme de ces nouveaux éléments indéfiniment décroissants sera, d'après le principe fondamental, la valeur exacte du volume à mesurer. Soient R, R' deux points quelconques de MN, correspondant à deux plans sécants consécutifs; S, S' leurs projections sur AX; on peut supposer SS' assez petit pour que les perpendiculaires ou ordonnées varient dans un môme sens, en passant de R à R'; d'où il suit que les deux rectangles RSS'I et R'S'SI engendreront autour de AX des cylindres dont l'un sera plus petit et l'autre plus grand que la partie du solide proposé comprise entre les deux plans sécants. Or, le rapport de ces deux cylindres de même hauteur est égal à celui de leurs bases ou des carrés de leurs rayons RS, R'S'; et à mesure que S' se rapproche de S, le rapport des ordonnées RS, R'S' se rapproche de l'unité, ainsi que celui de leurs carrés. Donc la limite du rapport des deux cylindres est l'unité ; et il en est de même, à plus forte raison, pour le rapport d'iin quelconque de ces cylindres au volume intermédiaire qui est l'élément exact du volume cherché.

Donc le volume engendré par MNPQ est la limite d'une somme de cylindres ayant pour hauteurs les parties infiniment petites dans lesquelles on décompose PQ, et pour rayons de leurs bases les ordonnées de MN correspondant aux points de division PQ.

Ces cylindres pourront être pris tantôt intérieurs, tantôt en partie extérieurs, sans que la limite de la somme soit changée, puisqu'ils satisfont toujours à la condition unique qu'ils doivent remplir.

Si l'aire génératrice n'est pas terminée à l'axe AX, mais à une seconde courbe M'N', le volume engendré sera la différence de deux autres qui rentrent dans le premier cas. On pourra aussi le considérer comme la limite de la différence des deux sommes de cylindres, ou de la somme des différences élémentaires correspondantes.

382. Solides terminés par des surfaces quelcontiues . — On concevra encore un système de plans parallèles, à des distances infiniment petites les uns des autres, et tels, que le solide entier que l'on veut mesurer soit compris entre le premier et le dernier ; puis on cherchera à substituer à la partie comprise entre deux plans consécutifs quelconques un solide d'une espèce plus simple, et qui n'en diffère que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle. Or, s'il arrive qu'en menant, par tous les points du contour d'une des sections, des parallèles à une même direction, jusqu'au plan de l'autre, la projection ainsi effectuée de la première courbe soit tout entière comprise dans la seconde, le cylindre ainsi formé sera tout entier compris dans la tranche du solide située entre les deux plans. Au contraire, le cylindre formé par des parallèles à la même direction menée du contour de la seconde section au premier plan renfermera entièrement cette même tranche. Mais le rapport des deux cylindres de même hauteur est égal à celui