CHAPITRE V

de leurs bases, lequel tend indéfiniment vers l'unité, à mesure que la distance des deux plans tend vers zéro. Donc le rapport des deux cylindres et, par suite, de la tranche du solide, à l'un quelconque d'entre eux, a pour limite l'unité, ou, en d'autres termes, chacun de ces cylindres diffère de l'élément exact du solide, d'une quantité infiniment petite par rapport à cet élément. Donc, enfin, le volume proposé est limite d'une somm,e de cjlindres ayant pour bases les sections du solide par des plans parallèles infiniment voisins, et pour hauteurs les distances de ces plans.

Ce premier cas est celui de tous les corps auxquels Archimède a appliqué ce procédé dont on lui est redevable.

383. Mais il peut arriver que les parallèles menées par les points d'une des sections ne soient pas toutes intérieures, ou toutes extérieures à la tranche du solide ; et alors le raisonnement précédent ne suffirait pas : car, dans ce cas, aucun des deux cylindres infiniment petits ne serait avec évidence plus petit ou plus grand que \v. volume de la tranche exacte du corps. Mais on peut concevoir deux cylindres qui n'auraient pas pour bases les sections mômes du corps, et tels, que l'un envelopperait entièrement la tranche, tandis que l'autre serait complètement intérieur; leurs bases tendraient indéfiniment à se confondre avec l'une des sections qui resterait fixe, tandis que l'autre s'en rapprocherait indéfiniment; et la coïncidence serait complète, si la distance des deux plans était réduite à sa limite zéro. Le rapport des deux bases des cylindres entre lesquels est comprise la tranche a donc pour limite l'unité; et l'on peut dire encore que le volume d'un solide quelconque peut être regardé comme la limite d'une somme de cjlindres infiniment petits, ajant pour hases les sections du solide par des plans parallèles infi-

4lO SCIENCE DE l'ÉTENDUE. CHAPITRE V.

niment ^voisins, et pour hauteurs les distances de ces plans.

384. On pourrait encore considérer le solide comme décomposé par deux séries de plans parallèles infiniment voisins, et prendre les plans d'une des séries perpendiculaires aux plans de l'autre. Un élément du solide, compris entre deux plans consécutifs d'une série et deux plans consécutifs de l'autre, pourra être remplacé par un parallélépipède qui aurait pour base la section de ces quatre plans par un plan perpendiculaire aux plans des deux séries. En prenant pour hauteur de ce parallélépipède la longueur d'une quelconque des quatre cordes de la surface formées par les intersections des quatre plans, on aurait un solide dont le rapport à la partie exacte du proposé aurait pour limite l'unité.

Le volume cherché serait donc la limite d'une somme de parallélépipèdes dont les bases seraient des rectangles ayant leurs côtés infiniment petits.