DE LA LONGUEUR DES LIGNES COURBES, ET DE L'AIRE DES SURFACES COURBES

385. Nous avons dit que deux droites avaient même longueur, lorsqu'elles pouvaient coïncider, ou, en d'autres termes, lorsqu'elles étaient égales ; ce n'est que de cette manière que le mot longueur s'est introduit dans notre langage, et nous nous sommes bien gardé de le définir. Et, de même, quand nous disons que la longueur d'une ligne surpasse celle d'ime autre, cela signifie que la première ligne est plus grande que la seconde. On n'emploie jamais ce mot que quand il y a comparaison, et, quand on se borne à dire : la longueur d'une ligne, on entend toujours le rapport de cette ligne à l'unité.

Dans quel cas maintenant pourra-t-on dire que deux courbes ont même longueur, ou sont égales? C'est évidemment quand elles pourront coïncider. Or cela n'est possible que dans des cas très-particuliers, par exemple pour des arcs de cercles dont les rayons sont égaux : deux arcs de cercles, de rayons différents ne peuvent donc être égaux, dans le sens reçu jusqu'ici ; et si l'on veut pouvoir dire que, sans être superposables, ils sont équivalents en longueur, comme on a dit que des figures non superposables ont des surfaces équivalentes, il faut dire bien nettement ce que l'on entendra par là, et ne pas agir comme si l'on dissimulait une difficulté qui réellement n'existe pas, puisqu'il ne s'agira que d'être conséquent à la définition qu'on aura donnée.

4l2 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

Le terme de comparaison le plus simple à prendre étant la ligne droite, la question consistera à déterminer la droite que l'on dira de même longueur qu'une courbe donnée quelconque, ou à définir le rapport de la longueur de la courbe à l'unité, ou simplement ce que l'on appellera longueur de la courbe.

Or voici celle que nous adoptons :

La longueur d'une courbe donnée est la limite "vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dans cette courbe, et dont les côtés tendent indéfiniment ^vers zéro.

Mais cette définition n'aura un sens précis que quand on aura prouvé que cette limite existe et est unique, quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés du polygone tendent vers zéro : c'est ce que nous allons faire.

Considérons un arc de courbe quelconque, et supposons-le, pour plus de simplicité, convexe dans toute son étendue, c'est-à-dire tel, qu'il ne puisse être coupé par une droite en plus de deux points : il en sera de même alors de tous les polygones inscrits. Si la courbe n'était pas dans ce cas, on la partagerait en parties pour chacune desquelles cette condition serait remplie; et pour chacune de ces parties on procéderait comme il suit.

Soit donc un arc convexe de courbe quelconque AB, et

Fig. 43.

adoptons, par exemple, la loi suivante pour l'inscription des polygones successifs ; joignons aux deux points A et B le point G de la courbe, qui est également distant de l'un