CHAPITRE VI

et l'autre, et qui se trouve, par conséquent, à l'intersection de la courbe et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde AB. Joignons ensuite aux extrémités des arcs AC, GB les points D, E, qui sont respectivement équidistants de leurs extrémités; et continuons ainsi indéfiniment : le nombre des côtés se doublant toujours croîtra sans limite, et la grandeur de ces côtés tendra vers la limite zéro. Il y a maintenant deux observations importantes à faire :

D'abord les périmètres augmentent avec le nombre des côtés, puisqu'on remplace toujours un côté par deux autres terminés à ses extrémités, et donnant, par conséquent, une somme plus grande.

Ensuite le périmètre croissant ne peut dépasser toute grandeur; car il restera toujours moindre que le périmè-tre d'un polygone fixe enveloppant la courbe, et tracé arbitrairement. Or une grandeur toujours croissante, et qui ne peut atteindre une certaine valeur fixée, a nécessairement une limite déterminée, connue ou inconnue (*). Donc, les

{*) Pour ceux qui ne regarderaient pas cette proposition comme évidente, on peut faire le raisonnement suivant :

Soient A la valeur au-dessous de laquelle est toujours la variable, et B une de celles qu'elle prendra; qu'on partage l'intervalle de B à A en parties égales aussi petites que l'on voudra : la variable pourra bien dépasser tous les points de division, mais ne peut aller jusqu'à l'extrémité; il pourra aussi se faire qu'elle ne les dépasse pas tous, et alors il y en aura un qui sera le dernier qu'elle dépasse; elle restera donc toujours comprise entre celui-ci et lé suivant, c'est-à-dire dans un intervalle aussi resserré qu'on l'aura voulu, et dans lequel elle ira toujours en croissant. En subdivisant cet intervalle en un nombre aussi grand qu'on voudra de parties égales, on reconnaîtra de môme que la grandeur ne peut se trouver que dans un nouvel intervalle fixe entre B et A, et d'une étendue aussi voisine de zéro qu'on le voudra. Il existe donc une certaine valeur fixe entre B et A, dont la variable s'approche indéfiniment ; elle a donc une limite. On démontrerait semblablement qu'une variable qui va toujours en décroissant, mais qui reste toujours au-dessus d'une certaine quantité fixe, a nécessairement une limite.

4l4 SCIENCE DE l'étendue.

pcrimèu^es des polygones inscrits dans la courbe, suivant la loi particulière que nous avons choisie, ont une limite; ce qui était la première proposition à établir.

Reste à démontrer que l'on aura la même limite, quelle que soit la loi d'inscription des polygones, pourvu que leurs côtés tendent tous vers zéro.

Considérons, en effet, deux polygones inscrits ayant leurs côtés extrêmement petits, l'un appartenant à. la série que nous venons de désigner, et le second correspondant à toute autre loi d'inscription : menons par tous les sommets de l'un et de l'autre des lignes parallèles à une même direction arbitraire, les deux périmètres seront partagés par ces lignes en un même nombre de parties ; et celles qui seront comprises entre deux parallèles consécutives auront un rapport d'autant plus près de l'unité que les côtés seront plus petits ; car leurs directions différant aussi peu qu'on voudra de celle de la tangente à la courbe, en l'une de leurs extrémités, l'angle qu'ils comprennent tendra vers zéro : et si l'on forme un triangle avec ces deux côtés comprenant cet angle, les deux autres angles tendront indéfiniment vers des valeurs infinies supplémentaires Tune de l'autre. Le rapport des côtés qui leur sont opposés est le même que ceux d'un triangle qui aurait les mêmes angles et dans lequel le côté correspondant à l'un des premiers resterait fini. Or, dans ce dernier, dont l'angle au sommet tend vers zéro, le second côté tend évidemment vers le premier et leur rapport vers l'unité; il en est donc de même du rapport des deux côtés infiniment petits du premier. Il suit de là, d'après le principe fondamental, que le rapport des deux périmètres tend vers l'unité à mesure que les côtés tendent vers zéro. La limite obtenue par le premier mode de subdivision est donc la même que pour tout autre. c. q. f. n.

Il est bon d'observer qu'on trouverait encore la même