CHAPITRE VI. /^l

limite, si les sommets du polygone n'étaient pas sur la courbe même, mais en étaient infiniment voisins, et que les côtés eussent toujours pour limites de leurs directions celles des tangentes aux points infiniment voisins. On pourrait encore considérer les polygones circonscrits à la courbe : on pourrait même prendre une suite de lignes séparées les unes des autres. Imaginons, par exemple, des parallèles qui coupent l'arc de courbe et soient infiniment voisines les unes des autres : si, par chaque point de division, on mène une tangente, la suite discontinue des portions de ces tangentes comprises entre le point de contact et la parallèle voisine aura, d'après les raisonnements précédents, la même limite que le périmètre inscrit. Ce procédé a été employé par Fermât. On trouverait encore bien d'autres manières de parvenir à la même limite par des sommes de lignes droites ; la seule condition nécessaire est que ces sommes et les périmètres inscrits se composent d'éléments correspondants dont le rapport ait l'unité pour limite. On aurait pu commencer par un polygone circonscrit et passer au suivant, en menant des tangentes par les points intermédiaires ; on aurait ainsi un périmètre moindre. En continuant ainsi, les périmètres toujours décroissants, mais toujours supérieurs à une grandeur fixe, par exemple à une ligne brisée intérieure, ou même à la droite qui joint les extrémités, aurait une limite. Cela admis, tout ce qui précède s'ensuivrait.

Remarques. — Tout polygone circonscrit à un arc de courbe convexe est plus grand que cet arc.

Car si, entre deux points de contact consécutifs quelconques, on mène une tangente, il en résultera un polygone circonscrit d'un périmètre moindre que le précédent. En agissant de même pour ce nouveau polygone, et ainsi de suite indéfiniment, le périmètre de ces polygones va tou-

4l6 SCIENCE DE l'étendue.

jours en diminuant et a pour limite la longueur de l'arc. Donc cette longueur est moindre que celle du polygone circonscrit quelconque d'où l'on est parti. Un raisonnement analogue prouve que la longueur de l'arc est plus grande que celle de tout polygone inscrit.

Il résulte de là que tout arc convexe est moindre qu'une ligne quelconque qui l'enveloppe, en partant des mêmes extrémités. Il suffît, en effet, de concevoir un polygone circonscrit au premier arc et ayant les côtés assez petits pour n'avoir aucun point commun avec le second et un polygone inscrit à celui-ci et qui enveloppe le premier. Ce dernier sera moindre que celui qui l'enveloppe, comme on le prouve dans la Géométrie élémentaire ; donc, à plus forte raison, l'arc inscrit sera moindre que l'arc circonscrit au plus grand polygone.

Les cas les plus singuliers qu'on pourrait imaginer n'offriront aucune difficulté. On verrait de la même manière qu'une courbe convexe fermée est moindre que toute ligne qui l'enveloppe.

Voici encore une remarque qui n'est pas sans utilité. Soient AB {fg^ 44) un arc convexe quelconque, AG une

droite menée de l'extrémité A et ayant même projection AP sur une ligne AU. Si toutes les tangentes de A en B forment avec AU des angles aigus plus petits que GAU, la