CHAPITRE VII

la hauteur de la pyramide. Il peut donc devenir moindre que tout volume donné, et par conséquent, à plus forte raison, la différence de chacune des sommes à la pyramide peut devenir moindre que toute grandeur donnée ; la pyramide est donc la limite de l'une ou de l'autre de ces sommes.

Il ne reste donc plus qu'à calculer la somme des volumes des prismes qui composent l'une des deux, par exemple la plus grande, et en prendre la limite; ce sera la mesure de la limite de cette somme ou de la pyramide.

Soient m le nombre des divisions de la hauteur, a l'une d'elles, on aura

Soit 72 le nombre des divisions comprises entre le sommet de la pyramide et la base inférieure de l'un quelconque

des prismes, cette base sera mesurée par —^ et le volume du

prisme sera — — \ la somme des prismes en question sera donc

■ — (i^-f- 2'-f-3'-f-... + mî).

Or Archimède a démontré la formule suivante:

La somme des prismes sera donc

v.h [m -+- 1) [im -j- I )

ou, en remplaçant a par — »

hh (m -h i) (2m -h i)

43o SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

dont la limite est -— j qui sera par conséquent égale à la

valeur de la limite de la somme des prismes, ou de la pyramide.

400. Mesure du segment parabolique. — Archimède considère d'abord cette surface comme composée d'un triangle plus grand que la moitié, plus de deux segments dans lesquels il fait la même décomposition, et continue ainsi indéfiniment; la somme de tous ces triangles aura pour limite l'aire du segment proposé. Or tous les triangles

d'un même groupe forment une somme égale à -r du précédent; ces groupes forment donc une progression ayant pour raison y? dont on trouvera la somme et la limite de

cette somme parla formule donnée par Archimède, à cette occasion même ; et c'est ainsi qu'il a démontré que le segment parabolique est égal aux - du triangle ayant même

base et même sommet que ce segment.

Ce grand géomètre a donné une autre solution de ce même problème, en considérant le segment cherché comme la limite d'une somme de trapèzes infiniment petits. Nous nous dispenserons de la rapporter ici.

401. V^olume du cylindre. — Dans ce cas, il n'est nécessaire de recourir ni aux séries ni aux infiniment petits. On reconnaît, en effet, immédiatement que ce volume est compris entre ceux de deux prismes qui auraient même hauteur que le cylindre et pour bases des polygones réguliers semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cercle de base du cylindre. Or ces prismes, ayant même hauteur, sont dans le même rapport que leurs bases, et le rapport de ces bases est égal à celui des carrés des rayons des cercles qui leur sont inscrits, et a par conséquent pour limite