EXTENSION DE LA DÉFINITION DES FRACTIONS. CONSÉQUENCES

50. Les fractions ont été considérées d'abord comme indiquant en combien de parties égales l'unité a été partagée et combien on prenait de ces parties. Les deux termes étaient donc nécessairement des nombres entiers, et le numérateur pouvait être plus grand ou plus petit que le dénominateur. On a reconnu ensuite qu'elles pouvaient être envisagées comme représentant le quotient de la division du numérateur par le dénominateur. Ce second point de vue permettrait de ne plus supposer les termes entiers, puisqu'on peut diviser des nombres fractionnaires l'un par l'autre; en l'adoptant, l'idée de fraction aurait pris plus d'extension et les propositions qui s'y rapportent plus de généralité. C'est pour cela que nous adopterons cette seconde définition àes fractions, et nous appellerons ainsi le quotient de la division du numérateur par le dénominateur.

Mais cette extension oblige à revenir sur toutes les règles ou théorèmes établis d'après une définition plus restreinte. Nous ne traiterons pas ce sujet avec tous les détails que demanderait un Cours spécial et complet d'Arithmétique ; mais cependant il est si important et si négHgé, que nous croyons devoir appeler sur lui l'attention particulière des auteurs et des professeurs, et donner quelques développements sur les questions les plus importantes qu'il renferme.

51. Proposons-nous d'abord de reconnaître généralement si une fraction ne change pas de valeur quand on

D. — Se. de rais., 2« Part. A

5o SCIENCE DES NOMBRES.

multiplie ou qu'on divise ses deux termes par un même nombre, en admettant ce théorème démontré dans le cas des nombres entiers.

Soit, par exemple, la fraction ^ • En multipliant ses deux

termes par une fraction quelconque, par exemple — > elle

devient ^ — ^ > et il s'agit de reconnaître si elle est égale à

la première, dont la valeur est ■^—^' H suffît pour cela d'effectuer la division des fractions qui forment ses deux termes,

et qui sont — — et ; on obtient ainsi

d'après la règle de la division des fractions à termes entiers et les théorèmes démontrés sur les produits de plusieurs facteurs. En supprimant les facteurs communs, cette

fraction se réduit à -^ qui est précisément la valeur de la

première. Celle-ci n'a donc pas changé de valeur par la

multiplication de ses deux termes par — Or les raisonnements que nous avons faits sont indépendants des valeurs particulières des nombres particuliers que nous avons choisis seulement pour fixer les idées. Nous avons eu soin de les conserver tous jusqu'à la fin sans altération, afin qu'il fût bien évident que la manière dont ils entrent dans les résultats eût été la même pour d'autres nombres choisis à leur place, et que la conclusion eût été la même.