CHAPITRE IV. 5l

11 est encore évident que cette conclusion s'applique à la division des deux termes par un même nombre quelconque, puisque la division par une fraction est la multiplication par la fraction renversée.

Nous pouvons donc maintenant énoncer cette proposition générale :

La valeur (Vune fraction à termes quelconques ne change pas quand on multiplie ou quon diwise ses deux termes par un même nombre quelconque.

On voit que cette proposition donne le moyen de réduire au même dénominateur un nombre quelconque de fractions à termes quelconques, entiers ou fractionnaires.

52. Avant de nous occuper des différentes opérations sur ces nouvelles fractions, nous ferons quelques remarques très-simples, mais très-générales et très-utiles.

53. Remarques. — Nous avons déjà eu l'occasion de faire remarquer que, si une quantité était décomposée en plusieurs parties et qu'on répétât un même nombre de fois chacune d'elles, la quantité elle-même était répétée ce même nombre de fois. Il résulte immédiatement de là que, si l'on divise par un même nombre entier les différentes parties d'un tout, on a divisé ce tout par ce même nombre. Si, par exemple, on prend le septième de chaque partie, on aura, en les ajoutant, une quantité qui, répétée sept fois, reproduira la première somme ou la quantité proposée ; elle en était donc le septième.

Enfin, il est évident que, si l'on prend une même fraction de chacune des parties d'une quantité, on a pris cette même fraction de la quantité.

Si, par exemple, on a pris les - de chaque partie, c'est-àdire le septième répété 5 fois, il suit de ce qui précède qu'en prenant d'abord le septième de toutes les parties

on a le septième de la quantité proposée ; répétant ensuite 5 fois les nouvelles parties, on aura répété 5 fois leur somme, qui est le septième de la quantité proposée; on

aura donc les - de cette quantité en prenant les - de chacune de ses parties.

Il est facile de reconnaître que ce que nous venons de démontrer pour la somme est vrai pour la différence de deux quantités ; car, la plus grande étant égale à la plus

petite ajoutée à cette différence, les - de la grande sont

égaux aux - de la petite, plus les - de la différence : donc

les - de la grande, moins les - de la petite, sont les - de

la différence, ce qu'il fallait démontrer.

On peut donc énoncer cette proposition générale :

Si Von prend une même fraction quelconque de plusieurs

quantités ajoutées ou retranchées les unes des autres, on

a pris la même fraction de la quantité qui serait le résultat

de ces additions et soustractions .

54. Addition. — Si l'on a à ajouter des fractions à termes quelconques qui n'aient pas le même dénominateur, on les y réduira, comme nous l'avons démontré, par le même procédé que si les termes étaient entiers, et par conséquent nous pouvons supposer que les fractions à ajouter aient le même dénominateur fractionnaire. Or nous allons démontrer qu'il faut suivre la même règle que pour les fractions à termes entiers, c'est-à-dire ajouter les numérateurs et donner à leur somme le dénominateur commun.

Supposons, en effet, pour la commodité du langage, que

le dénominateur soit, par exemple, — -, chaque fraction

étant le quotient de la division de son numérateur par —