CHAPITRE VII

l'unité, quand le nombre des côtés de ces polygones augmente indéfiniment. Le rapport des deux prismes a donc aussi pour limite Tunité, et, par conséquent, le rapport de l'un ou de l'autre au cylindre qui est compris entre eux a pour limite l'unité.

Il est donc démontré que le volume du cylindre est la limite du volume des prismes inscrits ou circonscrits. Or ces prismes ont pour mesure le produit de leur base par leur hauteur. Le cylindre a donc pour mesure le produit de cette hauteur par la limite de ces bases, c'est-à-dire le produit du cercle qui lui sert de base par sa hauteur.

402. Kolume du cône. — On reconnaît avec la même facilité que le volume d'un cône est compris entre ceux de pyramides ayant même sommet que ce cône, et pour bases des polygones réguliers semblables inscrits et circonscrits au cercle de base. Or ces pyramides ont pour mesure le tiers de leur hauteur multiplié par leurs bases, qui ont pour limite commune la base du cône. Il en résulte que le rapport de ces pyramides a pour limite l'unité, et que, par conséquent, il en est de même de leur rapport au cône compris entre elles.

Le cône est donc la limite des pyramides inscrites ou circonscrites, et, par conséquent, a pour mesure la limite de la mesure de ces pyramides, c'est-à-dire le tiers du produit de sa hauteur par sa hase.

403. Le volume d'un tronc de cône à bases parallèles s'en déduit facilement, puisqu'il n'est autre chose que la différence de deux cônes.

On peut aussi ramener sa détermination à celle du tronc de pyramide, en remarquant qu'un cône est équivalent à une pyramide triangulaire de même hauteur et de base équivalente .

432 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

404. Surface du cylindre. — La surface du prisme dont les bases sont des polygones inscrits dans celles du cylindre, et dont les côtés diminuent indéfiniment, a pour limite celle du cylindre ; car tous les points de ses faces se rapprochent indéfiniment des points de cette surface, et leurs directions de celles des plans tangents. Or la somme de ces faces a pour mesure le périmètre du polygone inscrit multiplié par la hauteur du cylindre. La surface convexe du cylindre aura donc pour mesure la limite de cette expression, ou le produit de la hauteur du cylindre par la circonférence de sa base.

405. On pourrait ramener la démonstration à la forme la plus ordinairement suivie, en faisant usage des principes d'Archimède que nous avons précédemment démontrés.

En effet, la surface convexe du prisme inscrit est moindre que la surface convexe du cylindre augmentée des segments du cercle qui ont pour bases les côtés du polygone inscrit, puisque chaque face plane du prisme est moindre que la surface terminée à son contour, et composée de la partie sous-tendue du cylindre et des deux segments adjacents.

Et de même la surface du cylindre est plus petite que la surface d'un prisme ayant pour base un polygone circonscrit semblable à celui qui est inscrit, augmentée des segments compris entre la circonférence du cercle et les côtés de ce polygone.

Ainsi la surface du cylindre est plus grande que celle d'un prisme inscrit, diminuée d'une quantité dont la limite est zéro, et plus petite que celle d'un prisme circonscrit, augmentée d'une quantité dont la limite est zéro. Elle est donc la limite de l'une ou de l'autre de ces expressions dont la différence tend vers zéro, et est par conséquent la limite des surfaces des prismes inscrits ou circonscrits ; ce qui ramène au résultat déjà obtenu.