CHAPITRE VII

406. Surface du cône. — Si l'on considère deux pyramides ayant même sommet que le cône, et pour bases des polygones semblables, l'un inscrit, l'autre circonscrit au cercle de base, la surface du cône sera la limite vers laquelle tendront ces surfaces lorsque le nombre des côtés de ces polygones augmentera indéfiniment.

Cela résulte de ce que nous avons établi en général ; mais on s'en assurerait encore au moyen des principes d'Archimède : il suffirait de construire un système symétrique du premier par rapport au plan de la base ; on aurait alors un double cône et de doubles pyramides dont l'une envelopperait la surface du double cône, et serait par conséquent plus grande, tandis que l'autre serait enveloppée par lui, et serait par conséquent plus petite. Et comme le même rapport existe entre les moitiés de ces trois* surfaces qu'entre ces trois surfaces elles-mêmes, il s'ensuit que la surface du cône est comprise entre celles des deux pyramides, dont il est facile de voir que le rapport a pour limite l'unité : elle est donc la limite des surfaces des pyramides inscrites ou circonscrites ; d'où l'on conclut facilement que la surface courbe du cône a pour mesure la moitié du produit de la circonférence de sa base par son côté.

407. Surface de la sphère. — Si l'on conçoit un demipolygone régulier inscrit dans la demi-circonférence d'un grand cercle, et qu'on le fasse tourner autour du diamètre qui passe par ses extrémités, il engendrera une surface qui, d'après la théorie générale que nous avons établie, aura pour limite la surface de la sphère lorsque le nombre des côtés du polygone augmentera indéfiniment.

C'est ce que l'on démontrerait encore d'après les principes d'Archimède, en concevant la surface qui serait engendrée par le polygone circonscrit semblable. La surface de la sphère serait comprise entre les deux, et comme les

D. — Se. de rais., 2^ Pari. 28

434 SCIENCE DE l'étendue.

mesures de ces deux surfaces montrent qu'eJles se rapprochent indéfiniment l'une de l'autre, il s'ensuit qu'elles ont pour limite commune la surface constante de la sphère.

On déduit de là que la surface de la sphère est égale à la circonférence d'un de ses grands cercles, multipliée par son diamètre, et égale, par conséquent, à quatre fois la surface d'un grand cercle.

408. La mesure de la surface d'une zone s'obtiendrait semblabJement, d'après notre théorie.

Mais, en se servant des principes d'Archimède, il ne suffirait pas de considérer les surfaces engendrées par une portion de polygone à côtés égaux, inscrits dans l'arc qui engendrerait la zone, et par un périmètre circonscrit semblable ; cfar la surface de la zone ne serait pas complètement enveloppée par cette dernière. On remédie à cet inconvénient par une considération ingénieuse due à Archimède, et dont on ne fait pas assez usage. Elle consiste à mener une tangente à l'extrémité de l'arc que décrit la zone et à substituer le tronc de cône que décrit la portion de cette tangente, terminée au polygone circonscrit, à celui que décrit la portion de celui-ci qu'elle remplace. On a ainsi une portion de polygone qui engendre une surface qui enveloppe entièrement la zone, et il est facile de reconnaître qu'elle est moindre que celle qu'engendrerait le polygone semblable à celui qui est inscrit. La zone est donc comprise entre les surfaces engendrées par ces deux polygones semblables, dont elle sera la limite. Toute difficulté est ainsi levée.

409. Volume de la sphère. — Ce volume peut être considéré comme limite de celui qui serait engendré par un polygone régulier inscrit dans un demi-grand cercle, et tournant autour du diamètre qui passe par les deux extrémités de ce demi-cercle. Or on trouve facilement que ce dernier