CHAPITRE VII

volume est mesuré par le produit du tiers du rayon du grand cercle par quatre fois la surface du cercle inscrit dans le polygone. La sphère, qui en est la limite, aura donc pour mesure la limite de ce produit, c'est-à-dire le produit du tiers de son rayon par quatre fois la surface d'un de ses grands cercles, ou par la surface même de la sphère.

^lO. On trouverait de même la mesure du volume d'un secteur sphérique, ou du volume de la portion de la sphère comprise entre deux plans parallèles.

411. Volume du conoïde parabolique. — Archimède a donné la mesure de segments quelconques des corps engendrés par la révolution d'une section conique autour d'un de ses axes. Il les considère tous comme limites de sommes de cylindres infiniment petits. Nous nous bornerons à considérer le cas de la parabole, et nous supposerons que la base du segment soit perpendiculaire à l'axe.

Si nous partageons la hauteur AP {fig. 4^) en un nombre m, de parties égales a ; que par tous les points de division nous menions des plans perpendiculaires à l'axe;

que sur les cercles d'intersection comme bases nous construisions des cylindres terminés respectivement au plan précédent et au suivant, la somme des cylindres dirigés dans le sens de l'axe sera plus petite que le volume cherché, et la somme de ceux qui sont dans l'autre sens sera plus grande. Or la différence de ces deux sommes est le cylindre

436 SCIENCE DE l'étendue.

dont la base est celle du segment même, et la hauteur a ; et cette différence peut devenir moindre que toute grandeur donnée, en donnant une valeur assez grande à m; il en est de même, à plus forte raison, de la différence de l'une ou de l'autre des deux sommes au segment, qui est, par conséquent, la limite de l'une et de l'autre. Cela posé, il faut trouver la valeur de l'une d'elles, par exemple de la plus grande, qui se compose de m cylindres. On sait qu'un cylindre a pour mesure le produit de la surface de sa base par sa hauteur. Celui dont la base est à la distance AQ du sommet A aura donc pour mesure

ttNQ a.

Or, en désignant par ip le paramètre de la parabole, on a

NQ ---- 2/?AQ.

et, si n est le nombre entier de subdivisions contenues dans AQ, on aura

le volume du cylindre aura donc pour expression

En faisant passer n par toutes les valeurs depuis i jusqu'à m, et faisant la somme de toutes ces expressions, on aura pour mesure.de la somme des cylindres

27r/?a' (l -f- 2 -}- 3 H- . . . -f- m), OU

Tcpa?m (m -}- i) ou

77/? . m a ( ma + a ) rrz 7r/> . AP ( AP -f- a ) ,