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ttMP — -,

c'est-à-dire que le segment du conoïde parabolique est égal au produit de la surface de sa base par la moite de sa hauteur.

Ce segment est donc la moitié du cylindre de même base et même hauteur, ou encore trois fois la moitié du cône de même base et même hauteur : c'est sous cette dernière forme qu'Archimède a présenté ce théorème.

412. Surface de la spirale d^Archimède. — Dans cette courbe les rayons partant d'un point fixe, ou pôle, croissent proportionnellement à l'angle qu'ils forment avec une droite fixe ; de sorte qu'en désignant cet angle par 0, et le rayon par r, on a

r=z aB,

a étant une constante donnée.

Soit proposé d'évaluer l'aire comprise entre la droite fixe AB, l'arc AM et le rayon AM [fig- 4^)- Archimède la considère comme limite d'une somme de secteurs circulaires, obtenus comme il suit.

Il partage d'abord l'angle MAB en deux parties égales, puis chacune des moitiés en deux parties égales, et de même chacun des nouveaux angles en deux parties égales, et ainsi de suite indéfiniment. Par chacun des points de

438 SCIENCE DE l'étendue.

rencontre avec la courbe, il décrit des arcs de cercle, du centre A, jusqu'à la rencontre avec la droite qui précède et

celle qui suit : il forme de cette manière une suite de secteurs circulaires, les uns plus petits, les autres plus grands que la partie de l'aire cherchée comprise entre les mêmes droites. Il suit de là que l'aire totale est comprise entre les deux sommes de secteurs, et que par conséquent la différence qui existe entre elle et chacune de ces sommes est moindre que celle de ces deux sommes entre elles. Or il est visible que cette dernière n'est autre chose que le secteur circulaire dont le rayon est AM, et l'angle au centre, la subdivision de l'angle MAB qui décroît indéfiniment. Il suit de là que la différence des deux sommes entre elles, et à plus forte raison la différence de chacune d'elles à l'aire cherchée, peut devenir moindre que toute quantité donnée.

Cette conclusion d'Archimède se traduit ainsi dans notre langage :

L'aire cherchée AMA est la limite de l'une ou de l'autre des deux sommes de secteurs circulaires.

La question est donc ramenée à l'évaluation d'une surface composée de surfaces plus simples que la proposée ; et c'est ce qui doit nous occuper maintenant.

Désignons par m le nombre des subdivisions de l'angle 0, par a la valeur de l'une d'elles, nous aurons