PROPRIÉTÉS DES FRACTIONS ÉGALES. - RÈGLES DE TROIS

59. Lorsque deux fractions à termes quelconques sont égales , c'est-à-dire lorsque le quotient du numérateur par le dénominateur, ou le rapport de ces deux nombres, est le même, on dit que les quatre termes sont en proportion : et il ne faut pas oublier que le quotient est le nombre qui, multipliant le diviseur ou multiplié par le diviseur, donné pour produit le dividende.

Les anciens géomètres faisaient un plus grand usage des proportions que ne le font les modernes, qui les remplacent souvent par des équations. Les diverses propriétés dont elles jouissent se déduisent très-simplement des propositions que nous avons démontrées sur les fractions considérées de la manière la plus générale.

60. Ainsi, par exemple, si l'on réduit les deux fractions égales au même dénominateur, les numérateurs seront nécessairement égaux ; et réciproquement, si deux fractions réduites au même dénominateur ont le même numérateur, elles sont égales. C'est ce qu'on exprime dans le langage des proportions en disant :

Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

Et réciproquement, si quatre nombres sont tels, que le produit des extrêmes soit égal à celui des moyens, ils sont en proportion.

61 . Rien n'est plus facile encore que de démontrer que, si l'on a deux proportions et que l'on multiplie ou divise

l'un par l'autre les termes correspondants, ces quatre nombres formeront proportion ; car il suffît pour cela de multiplier ou de diviser d'abord les premières fractions, puis de faire la même opération sur les secondes qui leur sont respectivement égales.

Une autre propriété importante des fractions égales en nombre quelconque consiste en ce que la somme des numérateurs, divisée par la somme des dénominateurs, donne encore une fraction égale. Et il en serait de même si l'on retranchait quelques-uns des numérateurs au lieu de les ajouter, pourvu qu'on retranchât aussi les dénominateurs correspondants.

Pour la démontrer généralement, désignons la valeur de

ces fractions par une fraction arbitraire réduite à avoir

ses termes entiers, ce qui est toujours possible ; soit, par

exemple, -^ cette valeur. D'après ce qui a été établi précé-

demment, chacun des numérateurs est éffal aux -^r du dé-

nominateur correspondant : la somme des numérateurs est

donc aussi les -rr de la somme des dénominateurs, ce qu'il

fallait démontrer ; et il en serait de même si l'on retranchait les termes de quelques-unes de ces fractions. Nous ne faisons que répéter ici ce que nous avons démontré précédemment, savoir : que si l'on prenait une même fraction de plusieurs quantités ajoutées ou retranchées les unes des autres, on obtenait la même fraction de la somme ou de la différence de ces quantités.

Ce théorème, dont les applications sont très-fréquentes, s'énonce comme il suit dans le langage des proportions :

Si l'on a une suite de rapports égaux, la somme ou la différence d'un nombre quelconque des antécédents est à la somme ou à la différence de leurs conséquents comme un antécédent est à son conséquent.