CHAPITRE V

62. Les proportions s'appliquent à la résolution des problèmes auxquels on est convenu de donner le nom dej'ègles de tj^oisy quoiqu'une règle ne doive être entendue que comme l'indication du procédé de solution et non comme l'énoncé de la question.

Ces sortes de problèmes ont pour objet la détermination d'un des quatre termes d'une proportion quand on connaît les trois autres ; et c'est à quoi l'on parvient facilement d'après l'égalité du produit des extrêmes à celui des moyens. Tout consiste donc à bien établir la proportionnalité des quatre termes ; mais c'est ce qu'on néglige beaucoup trop. On se contente souvent de reconnaître qu'elle a lieu quand les rapports sont entiers, et la règle générale qu'on en tire ne se trouve nullement démontrée. On induit donc les élèves en erreur en la donnant comme bien établie, et il vaut mieux leur donner un peu plus de travail que de leur fausser le jugement.

Un seul exemple suffira pour montrer comment on doit raisonner dans toutes les questions de ce genre.

Supposons qu'on veuille démontrer qu'il y a proportion entre deux nombres quelconques d'unités d'une même marchandise et leurs prix respectifs. Les deux nombres d'unités peuvent être des fractions quelconques, comme 3 2

-= et ^j ou plus compliquées encore. Mais, quelles qu'elles

soient, leur quotient ou ray3;70/'f pourrait être réduit, comme

nous savons, à une fraction à termes entiers ; et cette possibilité suffît pourconduire à la démonstration très-simplement. Représentons, en effet, le rapport des deux quantités en

question par une fraction quelconque à termes entiers, par

exemple — *, la première des quantités sera donc les — de

«7 iJ

6o SCIENCE DES NOMBRES.

la seconde. Mais le prix de — de la seconde serait évidem-

ment — du prix de cette quantité même ; et i5 fois — coû-

teront i5 fois autant qu'un seul, ou les — du prix de cette

quantité. Il y a donc même rapport ou proportion entre les prix et les quantités de marchandise, quels que soient les nombres qui les expriment.

63. Cette proposition étant ainsi établie pour toute espèce de marchandise homogène, on l'appliquera sans avoir besoin de faire aucun raisonnement nouveau ; et, si l'un des quatre termes était inconnu, on l'obtiendrait toujours par la propriété que le produit des extrêmes est égal à celui des moyens. On aura alors à trouver un nombre qui, multiplié par im nombre connu, donne un produit connu: ce qui ramènera à la multiplication et à la division.

64. On peut déterminer d'une manière différente le terme inconnu de cette proportion, d'après les trois autres.

Soit proposée, par exemple, la question suivante: 3 2

■- d'unités ont coûté -^ de francs, combien ^ d'unités

coûteront-elles ?

On cherchera d'abord combien une unité coûterait. Or,

d'après ce que nous avons démontré généralement dans le

g Chapitre III , il faudra pour cela diviser le prix — par le

nombre correspondant des unités, qui est ^ > Connaissant le

prix de l'unité, il faudra, comme nous l'avons montré dans