CHAPITRE V. 6l

ce même Chapitre, le multiplier par le second nombre

d'unités ^ pour en obtenir le prix.

Le nombre cherché s'obtiendra donc en multipliant — ;r

par 7T et divisant le produit par ^'

C'est à quoi l'on eût été conduit aussi en posant la proportion

^ : ^ : : -77 : au prix cherché.

63. Le second procédé est plus simple quand il s'agit de nombres entiers ; mais, dans le cas général, on voit qu'il n'offre aucun avantage réel sur l'autre. Et ce dernier est fondé sur cette considération importante, qu'il n'est pas permis d'ignorer, que les prix ont entre eux le même rapport que les quantités mêmes. Si donc il fallait sacrifier l'une des méthodes, ce ne devrait pas être celle des proportions.

66. Remarque. — Les proportions sont d'un grand usage dans la Géométrie, mais il ne faut pas oublier que l'on ne peut comparer que des quantités de même espèce; on peut néanmoins avoir une proportion dont les quatre termes ne soient pas homogènes, parce que le rapport de deux quantités d'une même espèce peut être égal au rapport de deux autres d'une même espèce, différente de la première ; en entendant toujours par rapport le nombre qui, multipliant

la seconde quantité, reproduit la première. Ainsi, par exemple, le rapport de deux surfaces est - quand la seconde, multipliée par -? donne la première, ou, en d'au-

très termes, quand la première est les -, «le la seconde.

Parmi les propositions démontrées ci-dessus, il y en a qui subsisteraient encore dans le cas où les termes seraient des grandeurs concrètes, d'une seule ou de deux espèces différentes ; mais la plupart de celles dont on fait usage supposent que les quatre termes sont des nombres. Par exemple, il n'y aurait aucun sens à attacher aux produits des extrêmes et des moyens si ces termes n'étaient pas des nombres. On ne pourrait changer d'ordre les moyens, s'ils étaient d'espèces différentes, etc.

On voit donc que, pour faire l'application des théorèmes démontrés sur les proportions entre des nombres, aux proportions entre des quantités concrètes, géométriques ou autres, il faut commencer par réduire ces dernières à des proportions entre des nombres, et pour cela remplacer le rapport de deux grandeurs d'une même espèce quelconque parle rapport de deux nombres, ce qui exige que ces deux grandeurs aient une mesure commune. Et réciproquement, si elles en ont une, leur rapport sera le même que celui des deux nombres entiers qui expriment combien de fois elle est contenue dans chacune de ces deux grandeurs.

On peut donc passer ainsi de proportions entre des quantités concrètes à des proportions entre des nombres, et y appliquer tous les moyens de calcul démontrés pour ces derniers ; et, lorsque l'on sera parvenu à des proportions entre des nombres représentant des quantités concrètes, on pourra les remplacer par ces dernières, puisque les rapports n'en seront pas altérés.