CHAPITRE VI

FRACTIONS DÉCIMALES. - PREMIER EXEMPLE DE LIMITES DE QUANTITÉS VARIABLES.

67. L'évaluation des quantités en subdivisions décimales de l'unité offre l'avantage d'une représentation semblable à celle des nombres entiers, d'où résulte une plus grande facilité pour les opérations. La réduction au même dénominateur n'est plus nécessaire pour les additions et soustractions ; et les subdivisions de l'unité étant toujours les mêmes, on est bientôt familiarisé avec elles, et l'on se fait facilement une idée approchée de la valeur d'une fraction décimale, à la seule inspection de ses premiers chiffres.

Mais l'avantage de cette uniformité est quelquefois contre-balancé par le grand nombre des chiffres que l'on doit prendre pour avoir avec une grande approximation la valeur qu'on renonce à prendre exactement.

Lorsqu'une fraction est donnée par un numérateur et un dénominateur, et qu'on veut la réduire à la forme décimale, il suffit d'effectuer la division qu'elle indique, en réduisant le numérateur entier et les restes successifs en dixièmes, centièmes, etc., comme on réduisait les divers ordres d'unités du dividende et des restes successifs en unités d'ordres inférieurs, pour trouver les différents chiffres du quotient entier.

Cette opération peut se terminer, comme aussi elle peut se prolonger indéfiniment. On peut reconnaître lequel de ces cas aura lieu, d'après la décomposition du dénominateur en facteurs premiers. Nous ne nous occuperons

pas de ces détails ; nous nous bornerons à dire que, quand l'opération ne se termine pas, il y a un certain nombre de chiffres consécutifs qui se reproduisent dans le même ordre indéfiniment; et l'on reconnaît que la périodicité commence, quand on retombe sur un reste déjà obtenu, qui ramène les suivants dans le même ordre et par suite les chiffres du quotient. Or on ne peut avoir plus de restes différents qu'il n'y a d'unités dans le diviseur diminué d'une unité. Si donc, après en avoir obtenu ce nombre, l'opération n'est pas exactement terminée, le quotient sera périodique, et la période commencera au chiffre d'ordre quelconque fourni par le premier reste qui doit se reproduire. Il existe donc des quantités susceptibles d'être exprimées exactement au moyen de certaines subdivisions de l'unité, et qui ne peuvent l'être par d'autres assujetties à certaines conditions, qui leur permettent cependant d'atteindre un degré quelconque de petitesse. Ainsi, par exemple, une quantité qui

serait exactement les -~ de l'unité ne peut jamais être

complètement épuisée au moyen des dixièmes, centièmes, millièmes, etc., d'unité, quelque loin qu'on prolonge l'opération : la division donnera o, 8i 8i 8i . . . , la période Si se reproduisant sans fin.

68. Limites de variables. — Lorsque l'on fait une division qui doit, ou non, conduire à un reste nul, l'erreur que l'on commettrait en s'arrêtant à im certain chiffre du quotient serait moindre qu'une unité de l'ordre de ce chiffre ; car, puisqu'on met toujours au quotient les plus forts chiffres possibles, si l'on ajoutait à l'un quelconque d'entre eux une seule unité de son espèce , on aurait un nombre plus fort que le quotient complet ; seulement il le dépasserait de moins d'une unité de cette espèce, puisqu'il manquait quelque chose et qu'on n'a ajouté qu'une unité.

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Lors donc qu'une division conduit à un quotient périodique, on peut y prendre un assez grand nombre de chiffres pour que la différence avec le quotient exact soit moindre qu'une unité d'un ordre décimal aussi avancé qu'on voudra, et par conséquent moindre que toute fraction que l'on aurait assignée.

Une fraction décimale périodique nous offre donc le premier exemple d'une quantité variable qui augmente continuellement, et qui cependant n'atteint jamais une certaine valeur fixe bien déterminée, quelque grand que devienne le nombre des chiffres qui en exprimentles parties qui s'ajoutent successivement les unes aux autres. Mais, si elle n'atteint jamais cette valeur fixe, sa différence avec elle diminue de manière à pouvoir devenir et rester ensuite au-dessous de toute grandeur désignée, quelque petite qu'elle soit.

Dans ces circonstances, on dit en général que la quantité fixe est la limite de la quantité variable, quelle que soit l'espèce de ces quantités.

Dans le cas actuel, on dira que la fraction périodique a pour limite la valeur de la fraction qu'on essayait de réduire en décimales.

La considération des limites est une des plus importantes et des plus fécondes des sciences mathématiques. Nous la développerons plus tard avec tout le soin qu'elle mérite ; pour le moment, nous nous bornerons à ce qui est strictement nécessaire pour ne pas laisser une lacune fâcheuse dans la partie de l'Arithmétique dont nous nous occupons.

69. Si l'on a une expression décimale indéfinie, périodique ou non, provenant d'une opération quelconque, dont on sait seulement que, quand on a posé un chiffre d'un ordre quelconque, on a un résultat trop faible, mais qu'on en aurait un trop fort en augmentant ce chiffre d'une

D. — Se. de rais. y 2« Part. 5

unité, il est évident qu'une pareille expression a une limite, puisque l'erreur commise en s'arrêtant à un chiffre est moindre qu'une unité du même ordre, et peut par conséquent devenir plus petite que toute quantité donnée.

70. Maintenant il est facile de reconnaître que dans une pareille expression le déplacement de la virgule produit sur la limite le même effet que lorsque le nombre des chiffres est fini.

En effet, arrêtons la fraction décimale à un chiffre quelconque, le reste qui compléterait la limite sera moindre qu'une unité du dernier ordre. Dans l'expression ainsi obtenue, déplaçons la virgule, par exemple, en l'avançant d'un rang vers la droite ; le nouveau nombre sera dix fois plus grand, et, par conséquent, si on lui ajoutait dix fois le premier reste, on aurait dix fois la limite de l'expression proposée. Mais, en prenant un nombre de chiffres de plus en plus grand, le reste peut devenir moindre que toute quantité donnée, ainsi que son décuple. Donc la limite de l'expression obtenue par le déplacement de la virgule «si égale à dix fois celle de la proposée.

Le même raisonnement s'appliquerait à un déplacement quelconque de la virgule vers la droite ou vers la gauche, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

« Si dans une expression décimale indéfinie on déplace d'une manière quelconque la virgule, la limite se trouve multipliée ou divisée par le même nombre que le serait, par le même déplacement, la valeur d'une expression décimale dont le nombre des chiffres serait limité. »

71. Nous avons vu qu'une fraction ordinaire, qui n'est pas exactement réductible en décimales, donne une expression périodique.

Rien n'est plus facile que de résoudre la question inverse et de déterminer la limite d'une fraction décimale