CHAPITRE VII

donnée. La plus grande quantité diminuée de ce reste aura une mesure commune avec la petite ; elle aura donc avec elle un rapport qui sera le même que celui des nombres de fois qu'elles contiendront cette mesure commune, et sera par conséquent exprimable par une fraction à termes entiers. On aura donc ainsi une suite indéfinie de rapports ou nombres commensurables correspondant à la plus petite des deux grandeurs, et à d'autres qui diffèrent de la plus grande, de quantités qui peuvent devenir moindres que toute grandeur désignée.

Concevons d'une autre part deux autres grandeurs incommensurables entre elles et d'une même espèce quelconque ; partageons la plus petite dans les mêmes nombres de parties égales que nous l'avons fait successivement dans le premier cas, et'portons-les de même dans la plus grande : il en résultera une nouvelle suite de rapports commensurables, et si ceux qui correspondent de part et d'autre au même mode de division de la plus petite sont toujours égaux, quelque loin qu'on pousse cette division, on dit que les deux premières grandeurs incommensurables ont entre elles même rapport ou même raison que les deux autres.

76. Cette déflnition de l'égalité des rapports incommensurables ne diffère pas au fond de celle qui se trouve dans les Elém,ents d'Euclide.

Mais, pour qu'il y ait lieu de l'admettre, il est nécessaire de démontrer que l'égalité des rapports commensurables respectifs est indépendante de la loi suivant laquelle les subdivisions décroissent indéfiniment ; c'est-à-dire que, si cette égalité a lieu pour une certaine loi, elle aura lieu pour toute autre. Cette proposition, qui ne se trouve pas dans Euclide, peut être démontrée comme il suit.

Soient A et B deux grandeurs incommensurables d'une espèce quelconque, et A', B' deux autres grandeurs incom-

mensurables, soit de la même espèce que les premières, soit de toute autre. Admettons que si l'on subdivise A et A' en un même nombre de parties égales, qui croisse indéfiniment suivant une certaine loi déterminée, on trouve constamment le même nombre de ces parties contenues respectivement dans B et B' : il s'agit de démontrer que si l'on partage A et A' en un même nombre quelconque m de parties égales, non renfermé dans la loi donnée, il se trouvera toujours un nombre égal de ces subdivisions respectives dans B et B^

En effet, supposons qu'il y ait un nombre k de ces parties de A dans B, et un nombre différent, par exemple plus grand, des parties de A' dans B'; alors k -f- i parties de la première espèce surpasseront B d'une certaine quantité que je désignerai par E, tandis que k -\- i parties de la seconde espèce seront encore inférieures à B'. Gela posé, décomposons A en parties égales moindres que E, et comprises dans la loi donnée ; décomposons A' en un nombre égal de parties ; d'après l'hypothèse, il devra s'en trouver respectivement le même nombre dans B et dans B'. Mais il est évident qu'il y aura moins de parties plus petites que E dans B que dans B -j- E, ou dans k-{- i des subdivisions en question ; et il y en aura évidemment autant dans ces k -\- i subdivisions qu'il y aura de parties correspondantes dans les k -\- i subdivisions correspondantes de B', qui donnent cependant une somme inférieure à B'. Donc il y aurait dans B un nombre moindre de parties comprises dans la loi donnée, qu'il n'y aurait de leurs correspondantes dans B', ce qui est contre l'hypothèse. Il est donc impossible qu'en partageant A et A' en un même nombre quelconque de parties égales, ces parties ne soientpas respectivement comprises dans B et B'ie même nombre entier de fois.