CHAPITRE VII

incommensurables y elle sera la même que pour les rapports commensurables. On dira toujours qu'un rapport est plus grand ou plus petit qu'un autre, lorsqu'il est celui d'une quantité plus grande ou plus petite que la première à la même seconde quantité. Et Ton appellera toujours somme des rapports de plusieurs quantités quelconques à une unité commune, le rapport de la somme des quantités à cette même unité.

77. C'est cette manière générale de considérer les nombres qui a permis à Euclide d'établir des théorèmes généraux dans la comparaison des surfaces ou des solides. II n'aurait pas pu dire que deux rectangles de même hauteur sont toujours dans le même rapport que leurs bases, nique deux parallélépipèdes de même base sont dans le même rapport que leurs hauteurs, et tant d'autres propositions analogues n'auraient pu être énoncées généralement, s'il n'avait^défini préalablement, non les rapports mêmes, mais l'égalité des rapports dans tous les cas qui peuvent se présentef .

Ce n'est pas que, pour les besoins de la pratique, il j ait beaucoup d'intérêt à donner ce degré de généralité aux théorèmes relatifs à la comparaison, et par conséquent à la mesure, des grandeurs ; car on peut toujours les rendre commensurables en les augmentant ou les diminuant de quantités moindres que toute grandeur désignée. Mais, au point de vue de la théorie pure, il faudrait dire que les propositions ne sont pas générales, et n'ont de sens que quand toutes les grandeurs ont une mesure commune.

78. Remaj'que . — II est important de reconnaître que, d'après toutes les définitions précédentes, les nombres incommensurables peuvent être considérés comme limites de nombres commensurables variables, croissant ou décroissant.

Considérons, en effet, le rapport de deux grandeurs qui n'ont pas de commune mesure. Partageons la première en un nombre indéfiniment croissant de parties égales, et portons-les dans la seconde autant de fois que possible, nous aurons une quantité commensurable avec la première et qui sera au-dessous de la seconde de moins qu'une partie ; de sorte qu'en en ajoutant une de plus, on aura une nouvelle quantité commensurable avec la première, et qui dépassera la seconde de moins qu'une partie entière. Cette dernière étant plus petite que l'une des deux quantités commensurables et plus grande que l'autre, son rapport avec la première sera, d'après nos définitions, plus grand que le premier rapport commensurable et plus petit que le second. Et comme ces deux rapports ne diffèrent l'un de l'autre que du rapport d'une subdivision de la première ligne à cette ligne même, leur différence deviendra moindre que tout nombre donné en augmentant suffisamment le nombre des subdivisions, et il en sera de même à plus forte raison de la différence qu'ils ont l'un et l'autre avec le rapport intermédiaire de la seconde à la première. Ce dernier est donc un nombre fixe, dont des nombres commensurables variables, plus petits ou plus grands, s'approchent de manière que la différence qu'ils ont avec lui peut devenir et rester au-dessous de toute grandeur. Donc, d'après la définition des limites, on a le droit de dire que :

Tout nombre incommejis arable peut être considéré comme la limite d'un nombre commensurable ^variable, plus petit ou plus grand que lui.