DES OPERATIONS SUR LES NOMBRES INCOMMENSURABLES

79. Nous avons vu que tout nombre incommensurable pouvait être regardé comme provenant de la mesure d'une

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quantité concrète; nous avons défini l'égalité et l'inégalité, ainsi que l'addition des nombres incommensurables; et enfin nous avons fait voir que ces nombres pouvaient (Ure regardés comme limites de nombres incommensurables variables. Occupons-nous maintenant des règles à suivre pour efi'ectuer sur ces nombres les opérations précédemment examinées pour les nombres commensurables.

Considérons généralement une question qui conduise à une ou à plusieurs opérations successives sur des nombres; que, dans cette question, ces nombres représentent des grandeurs concrètes ou qu'ils aient une origine purement abstraite, auquel cas on pourra les considérer tous, connus ou inconnus, comme mesurant des grandeurs concrètes d'une même espèce quelconque : et que, parmi tous ces nombres, il s'en trouve d'incommensurables. On remplacera ces derniers par des nombres commensurables qui en pourront différer aussi peu qu'on voudra, et l'on exécutera toutes les opérations demandées sur ces nombres, tous commensurables. Le résultat final sera un nombre représentant la quantité concrète de l'espèce indiquée par la question, ou imaginée arbitrairement. Cette quantité concrète variera avec les nombres substitués aux incommensurables, et tendra vers une certaine limite lorsque ces nombres tendront vers les leurs. Or c'est le nombre qui correspondrait à cette limite concrète qu'on appellera le résultat inconimens arable, ou commensurable, des opéralions en question.

Il suit de là que toutes les propositions et règles démontrées sur les nombres commensurables subsisteront pour les nombres incommensurables, puisqu'on commence toujours par les remplacer par des nombres commensurables. Ainsi le produit de plusieurs nombres incommensurables sera le même dans quelque ordre qu'on effectue la multiplication; car, cela étant vrai pour les facteurs commensu-