CHAPITRE IX. 8l

pliquera au cas actuel où l'inconnue qui entre dans les termes de la première peut n'être pas un nombre entier.

La question proposée est donc ramenée à celle-ci :

Trou\fer un nombre tel, qiien l'ajoutant à i et multipliant la somme par i3, on ait le même résultat qu'en ajoutant ce nombre à 5 et multipliant la somme par 9 : car ce seront là les deux numérateurs après la réduction.

Le nombre qui résoudra cette question sera précisément celui qu'on cherche.

Cette nouvelle condition peut s'énoncer comme il suit, en exécutant les multiplications ;

i3 fois 7. plus i3 fois l'inconnue doit être égal à 9 fois 5 plus 9 fois rinconnue, ou

26 plus 1 3 fois l'inconnue doit être égal à 45 plus 9 fois l'inconnue ;

et réciproquement.

Or, si l'on retranche de ces deux quantités ce qu'elles ont de commun, c'est-à-dire 26, et 9 fois l'inconnue, les restes devront être égaux ; et réciproquement, s'ils le sont, les deux quantités précédentes le seront. Donc la seconde question est ramenée à cette troisième, qui aura identiquement les mêmes solutions que la seconde et la première :

Déterminer un nombre qui^ répété 4 Jois, produise 19.

Nous sommes donc parvenus à une question que nous pouvons résoudre, puisqu'elle demande seulement qu'on

trouve le quotient de la division de 19 par 4, lequel est -~-

Le nombre qui résout la question proposée est donc -^9 de sorte que

4 Q sera égal à -—-,

D. — Se. de rais., 2«= Part. 6

ce qu'il est facile d'ailleurs de vérifier; et cette vérification ne serait autre chose que la démonstration synthétique de la solution. Mais on voit que la marche synthétique, qui peut bien prouver qu'on a découvert la solution, est impropre à la faire découvrir.

La marche que nous avons suivie est analytique, puisque nous avons ramené le problème à un autre, et celui-ci à un troisième que nous avons pu résoudre ; mais cette analyse n'est pas une décomposition de la chose à connaître en parties, que l'on chercherait séparément pour en former le tout qui était à trouver. Ce n'est donc pas l'analyse de Gondillac.

83. Problîsme II. — Un père laisse un héritage de loo 000 francs qui devra être partagé de la manière suivante entre ses trois enfants : la part du second devra être égale au double de celle du premier, moins 20000 francs, et la part du troisième devra être la moitié de celle du second plus 10 000 francs. Quelles seront ces trois parts?

Il suffit de connaître la première part pour en déduire les deux autres, d'après les conditions qui les lient. Or la détermination de cette inconnue se ramène facilement à la résolution d'une autre question très-simple.

En effet, la seconde part étant 2. fois l'inconnue, moins 20 000, et la troisième la moitié de cela, ou une fois l'inconnue moins 10 000, à laquelle moitié on ajoutera 10 000, ce qui fera une fois l'inconnue, il s'ensuit que les trois parts formeront 4 fois l'inconnue moins 20 000, et cette somme devra être égale à 100 000 francs.

L'inconnue devra donc satisfaire à cette autre question :

Trouver un nombre tel, qu'en le répétant 4 fois, puis retranchant 20000, on obtienne looooo.

Et il y a réciprocité entre les deux questions, puisque