CHAPITRE IX

4 fois l'inconnue moins 20 000 est la somme de trois nombres déduits du premier comme les parts doivent se déduire de la première; il suffira donc que l'inconnue satisfasse à la condition que cette somme soit 100 000, pour qu'elle satisfasse à la question proposée.

Or, si 4 fois l'inconnue moins 20 000 est égal à 100 000, 4 fois l'inconnue sera égal à 120000, et réciproquement. L'inconnue sera donc le quart de 120000, ou 3o 000, et réciproquement. La première part sera donc 3oooo francs, et par suite la seconde sera 4o 000 francs et la troisième 3oooo francs.

La marche analytique a consisté ici à déduire de la question proposée plusieurs autres questions successives, satisfaites si la première l'était, et réciproquement.

84. Voici un problème un peu moins simple, que nous empruntons à l'Algèbre d'Euler ;

Problème IIL — Une paysanne a apporté au marché un certain nombre d' œufs. Elle en 'vend à une première personne la moitié de ce quelle a, plus un demiœuf; à une seconde, la moitié de ce qui lui en reste, plus un demi-œuf; à une troisième, la moitié du nouveau reste, plus un demi-œuf; enfin aune quatrième, la moitié de ce qui en reste encore, plus un demi-œuf. Après cette dernière vente Une lui en j'este plus; combien en aidait-elle apporté ?

Il est d'abord facile de reconnaître à quelle question on peut ramener la proposée. En effet, si l'on part du nombre d'œufs inconnu, et qu'on en déduise le reste après la première vente ; qu'on déduise de celui-ci le reste après la seconde, et ainsi de suite jusqu'au reste de la dernière vente, il faudra qu'il soit nul : et réciproquement, s'il l'eèt, le nombre d'œufs qui le rendra tel satisfera aux con-

ditions données. C'est donc à cette nouvelle question que la première est ramenée.

Or rien n'est plus facile que d'exprimer ce qui reste après chacune des ventes. En effet, elle vend d'abord la

moitié du nombre inconnu plus - œuf; il reste donc après

cela la moitié du nombre inconnu moins - œuf. A la seconde vente, elle donne d'abord la moitié de ce reste, plus encore - œuf: il reste donc la moitié de ce même reste,

moins -œuf; ou -> de l'inconnue, moins -7 d'œuf, moins -œuf:

après la troisième il restera encore la moitié de ce reste

moins - œuf; ou 0 de l'inconnue, moins -d'œuf, moins 2 o o

-7 d'œuf, moins - œuf. Le reste suivant sera encore la moitié 4 2

de celui-ci, moins - œuf; ou — r de l'inconnue, moins-— ' 2 16 ib

d'œuf, moins r. d'œuf, moins -7 d'œuf, moins - œuf : et ce

reste doit être égal à zéro si l'on donne à l'inconnue la valeur cherchée.

La question revient donc à la suivante, avec réciprocité : Trouver un nombre tel, que sa seizième partie diminuée

de —7^^ de -p^t de -7 et de - donne pour reste zéro. 16 8 4 2 ^

Et celle-ci revient évidemment à cette autre :

Trouver un nomhre dont le seizième soit égal à la

somme de -•> ->- ? ^ et -7: 5 ou—j^- 24^ ï^ 16

Or cette dernière question se résout immédiatement, puisque le nombre dont le seizième est le seizième de i5 n'est autre que i5.