CHAPITRE IX
La paysanne avait donc apporté i5 œufs au marché. C'est ce qu'on vérifiera facilement, et cette vérification serait la démonstration synthétique de la solution.
85. Notre méthode analytique se reconnaît encore ici, puisque nous avons procédé par déduction avec la démonstration de réciprocité. Mais on ne saurait y voir celle de Gondillac, qui consiste à décomposer la chose cherchée en pai'ties plus faciles à connaître, pour en former ensuite la chose elle-même. Nous n'avons employé d'autre décomposition que celle de la vente, telle qu'elle était indiquée par la question, mais non celle de la quantité inconnue ; et nous n'avons pas cherché à connaître les diverses parties de cette inconnue pour la recomposer en les réunissant, comme l'indique l'analyse de Gondillac.
86. On aurait bien pu donner une solution dans laquelle on aurait cherché l'expression des différentes parties dans lesquelles on aurait partagé l'inconnue ; mais ce n'aurait pas été pour les connaître séparément et en former la somme, et même on ne l'aurait pas pu. Ce n'eût été qu'un moyen différent de ramener la question proposée à une autre qu'il eût fallu résoudre. On aurait donc encore suivi la méthode de réduction, et non la prétendue méthode analytique de Gondillac.
Voici comment on eût alors procédé :
A la première vente la marchande donne la moitié de
l'inconnue plus- œuf, et il en reste la moitié de l'inconnue
moins - œuf. Elle donne à la seconde vente y de l'inconnue 2 4
moins -, d'œuf , plus - œuf, et il reste y de l'inconnue moins 42 4
-T d'œuf, moins - œuf. Elle donne donc à la troisième 4 ^
^ de l'inconnue, moins ~ d'œuf, moins 7 d'œuf, plus - œuf, o o /\. 2.
et il reste ^ de l'inconnue, moins 7, d'œuf, moins 7 d'œuf, o 04
moins - œuf. A la quatrième vente elle donne donc -^ de
l'inconnue, moins —^ d'œuf, moins 3 d'œuf, moins 7 d'œuf,
plus - œuf.
Or tout ce qu'elle a donné à ces quatre ventes constitue le nombre total des œufs qu'elle a apportés, puisqu'il ne reste plus rien après. D'où résulte cette conséquence :
L'inconnue est égale à la somme des quantités données
aux quatre ventes, ou à la moitié de l'inconnue plus - œuf,
plus 7 de l'inconnue, moins 7 d'œuf, plus - œuf, plus ^ de 4 4 ^ ^
l'inconnue, moins 3 d'œuf, moins 7 d'œuf, plus - œuf, plus o 4 ^
enfin — ^ de l'inconnue, moins -7^ d'œuf, moins 77 d'œuf, 10 16 o
moins 7 d'œuf, plus - œuf.
En opérant les additions et soustractions, on aura l'expression suivante de la même proposition :
L'inconnue est é^ale aux —^ de l'inconnue, plus —^ d'œuf.
iD ^10
Le nombre qui satisfait à la question proposée doit donc satisfaire à cette condition : et réciproquement, tout nombre qui y satisferait conviendrait à la question, puisqu'en partant de ce nombre et faisant les ventes indiquées par la question on épuiserait exactement ce nombre.
Le problème est donc ramené à celui-ci :
Trouve/' un nombre ésral à ses -—. plus -77 d'unité.
CHAPITBE IX. 87
Or, de cette condition résulte que -77 du nombre est égal
à — T d'unité, ou à —7 de i5. Ce nombre est donc i5. ib ib
On voit donc que les quatre parties dans lesquelles nous avons décomposé le nombre cherché ont servi à ramener la question proposée à une autre, mais qu'elles n'ont point été déterminées elles-mêmes, et que ce n'est pas en ajoutant leurs valeurs que l'on est parvenu à connaître celle de leur somme ou du nombre cherché.
87. Dans ces solutions nous sommes parti du nombre cherché, et nous en avons déduit des con^quences qui nous ont conduit à une autre question dont ce nombre devait être une solution ; et nous avons démontré la réciproque. Nous avons trouvé la solution de cette seconde question, et nous avons eu ainsi celle de la proposée.
Mais, au lieu de déduire de la proposée des questions auxquelles l'inconnue doit satisfaire, on aurait pu la réduire à une suite d'autres, jusqu'à ce qu'on en rencontrât une dont la solution fût connue. Ce sont là les deux manières de procéder de l'analyse, comme nous l'avons montré dans la première Partie. On choisit celle qui se présente le plus naturellement, et c'est souvent la marche par déduction qui est dans ce cas. Et il peut arriver que la question à laquelle est ramenée la proposée en soit tellement voisine, et qu'elles se déduisent si facilement l'une de l'autre, qu'on ne puisse réellement savoir si Ton y est arrivé par déduction ou réduction, et de laquelle des deux manières il est le plus naturel de la présenter.
88. Pour appliquer la méthode de réduction à la question actuelle, nous partirons du résultat final, c'est-à-dire du dernier reste qui doit être nul, et nous chercherons ce que doit être le précédent pour qu'il conduise à celui-ci.
L'ayant trouvé, nous chercherons ce que doit être le reste qui le précède, pour que celui-ci s'en soit déduit; et, lorsque nous l'aurons trouvé, nous chercherons ce que devait être le nombre proposé qui y a conduit après la première vente. Le problème sera donc résolu par une suite dç réductions.
Pour y parvenir, remarquons généralement qu'un quelconque des restes se déduit du précédent en en prenant la
moitié et en retranchant - œuf.
Or, si un de ces restes est zéro, le précédent a donc été complètement épuisé quand on en a ôté sa moitié et encore -: il fallait donc que - fût la moitié même qui restait,
et par conséquent F avant-dernier reste était i. La réciproque est évidente. L'antépénultième reste était donc tel,
qu'en en ôtant la moitié et - il restait i ; donc - plus i for-
maient sa seconde moitié, et par conséquent il était 3. Le reste précédent, qui est le premier, était donc tel,
qu'en ôtant sa moitié et - il restait 3 ; sa seconde moitié
était donc - plus 3 ; et ce reste était par conséquent 7. Or ce premier reste a été de même déduit du nombre cherché en en retranchant sa moitié plus encore -; donc sa
seconde moitié se composait de - et de 7, et le nombre en
était le double ou iS.
On retrouve donc la solution de la question, mais par une analyse procédant par réduction au lieu de procéder, comme dans la première marche, par déduction.
89. Problème IV . — On demande les âges d'un frère et d'uJie sœur, sachant que leur somme est de 3S ans, et
