CHAPITRE IX
que la sœur a le triple de l'âge quelle aidait lorsque son frère as^ait i —fois Page quelle a aujourd'hui.
Les conditions de cette question conduisent naturellement à des conséquences qui la ramènent à une autre facile à résoudre, et qui réciproquement entraîne la première.
On voit d'abord qu'il y a deux époques, et que leur distance doit être égale à 1 fois l'âge de la sœur, à la première époque, puisqu'elle a aujourd'hui 3 fois ce même âge. Or
à cette époque le frère, ayant i - fois l'âge actuel de la
sœur, avait donc 4 - fois celui qu'elle avait à la première époque ; et en ajoutant la distance des deux époques, il doit avoir aujourd'hui 6 - fois ce même âge ; de sorte
qu'entre eux deux ils ont 9 - fois cet âge.
Et, réciproquement, 9 - fois un nombre quelconque
d'années serait décomposable en 3 fois et 6 - fois ce nombre,
qui conduiraient à une époque antérieure telle, que les âges à ces deux époques satisferaient à toutes les conditions exigées par la question entre les âges aux deux époques. Il ne reste donc plus qu'à satisfaire à la condition que la somme actuelle des âges soit 38 ans. Il est donc nécessaire et suffisant que le nombre d'années de la sœur à la première époque satisfasse à la question suivante:
Trouver un Jionihre qui, multiplié par 9 -•> donne 38.
Ce nombre est donc le quotient de 38 par 9 - ou 4«
La question est donc satisfaite en donnant 4 ^ms à la sœur à la première époque, et il n'y a pas d'autre solution.
go SCIENCE DES NOMBRES. — CHAPITRE IX.
Son âge actuel sera donc 12 ans, et celui du frère 26 ans. Dans ce cas encore nous avons déduit des conditions de la question celles d'une autre question plus simple dont la solution entraînait réciproquement celle de la première.
90. Observ^ation. — Si nous n'avions pas d'autre but que de résoudre quelques problèmes faciles, nous n'aurions pas donné tant de développements à leurs solutions. Mais nous voulions faire bien reconnaître sur ces exemples simples l'emploi des méthodes générales exposées dans la première Partie, et nous ne voulions pas en détourner l'attention par une trop grande difficulté à suivre les raisonnements.
Dans la plupart de ces solutions nous sommes parti des conditions qui devaient être satisfaites pour que la question proposée fût résolue, et en admettant qu'elles le fussent, nous en avons déduit d'autres qui devaient aussi l'être, et conduisaient à une nouvelle question qui devait être résolue si la première l'était, et réciproquement.
Nous avons aussi donné des exemples de solution par réduction, c'est-à-dire en cherchant une question dont les conditions entraînaient comme conséquences celles de la proposée, et démontrant la réciprocité. De ces deux manières de procéder de l'analyse, la première est plus souvent employée peut-être, parce qu'il est plus facile de tirer des conséquences de rapports admis, que de reconnaître de quels rapports ils seraient eux-mêmes les conséquences. Mais il n'y a pas de règle générale à cet égard ; on prendra celle des deux marches qui se présentera le plus naturellement : on pourra les employer alternativement dans la même question. L'important est de bien s'assurer de la réciprocité.
