DES MOYENS D'OBTENIR LA GÉNÉRALITÉ DANS LES RÉSULTATS

97. Dans toute question qui a pour objet de trouver la valeur d'une ou de plusieurs choses inconnues, il y a une distinction importante à faire. D'une part, on aura à considérer les valeurs particulières des données, et d'une autre part les différents rapports que les inconnues doivent avoir entre elles et avec ces données. Ces rapports constituent la nature de la question, et les valeurs particulières des données en constituent des cas particuliers dont le nombre est illimité.

Or on peut se proposer de trouver la solution d'une question d'une nature bien définie en ne tenant compte que de cette nature et indépendamment des valeurs particulières des données : c'est ce qu'on appellera la solution générale de cette question.

En réfléchissant à ce que peut être la solution d'une (juestion où aucun nombre n'est fixé et où l'on ne connaît que les conditions qui les lient avec ceux que l'on cherclie, on comprend qu'on ne peut se proposer autre chose que de déterminer la suite d'opérations connues qu'il faudrait exécuter sur les données pour obtenir les inconnues; et c'est aussi là ce que nous nous proposons.

Nous dirons donc que :

« La solution générale d'une question d'une espèce désignée consiste dans l'indication des opérations connues

D. — Se. de rais. y i* Part. 7

98 SCIENCH DES NOMBRES.

qu'il faut efFectuer dans tous les cas particuliers pour en obtenir la solution.

Cette indication s'appelle une formule.

Et ce que nous venons de dire ne s'applique pas uniquement à des questions de nombres ; seulement la nature des opérations dépend de celle des choses dont il s'agit. Ainsi la solution générale d'un problème de Géométrie est l'indication des constructions à faire pour obtenir dans tous les cas particuliers ce qui est demandé, et cette indication sera une formule de construction. Il en serait de même pour des choses de tout autre genre. •

98. Voyons comment il sera possible d'obtenir cette généralité pour les questions de nombres.

Déjà nous avons obtenu des propositions et des règles générales en prenant des nombres quelconques pour représenter les données et raisonnant sans tenir compte de leurs valeurs particulières. La manière dont ces nombres entraient dans les résultats nous apprenait comment y seraient entrés tous autres nombres, et, par conséquent, ces résultats étaient généraux ; mais cette manière de procéder avait d'assez grands inconvénients. D'abord il fallait que tous les nombres choisis fussent différents, pour ne pas être confondus entre eux ; il fallait une grande attention pour n'effectuer aucun calcul, mais seulement les réductions qui auraient été amenées dans tous les cas ; et si ces réductions avaient introduit des nombres déjà choisis pour représenter des données, il en pouvait résulter à la fin quelque confusion. On a donc dû renoncer à ce procédé dès que les questions se sont un peu compliquées.

Mais il est un moyen aussi simple et qui n'est sujet à aucun inconvénient : c'est de représenter les nombres donnés par d'autres signes quelconques que des nombres. On ne sera plus tenté alors d'exécuter les opérations qui se