CHAPITRE XI

présenteront; les réductions pourront sans inconvénient introduire des nombres qui ne sauraient faire confusion avec les signes choisis, et la manière dont ceux-ci entreront dans la composition du résultat sera précisément la formule qui résoudra la question d'une manière générale. Les signes qu'il était naturel de choisir sont les lettres de l'alphabet. Ce procédé se résume alors de la manière suivante :

« Pour résoudre généralement toutes les questions d'une même espèce déterminée, on représentera les divers nombres donnés par des lettres différentes, et l'on suivra identiquement la même marche que s'il s'agissait de résoudre une question particulière de la même espèce. Quand on sera parvenu à la détermination des inconnues, ce ne seront plus des nombres que l'on aura obtenus, mais des indications d'opérations à faire sur les nombres que les lettres remplacent. Ce seront donc les formules qui résoudront d'une manière générale la question proposée. »

99. Les résultats généraux ne sont pas seulement utiles pour dispenser de recommencer pour chaque cas particulier les mêmes raisonnements et les mêmes calculs ; ils sont souvent indispensables pour pouvoir traiter d'autres questions , même particulières , mais où il y a des nombres inconnus ; car, si l'on n'avait pas démontré pour tous les nombres les propositions dont on fait usage, on n'aurait pas le droit de les appliquer aux inconnues. Si, par exemple, on combine une suite de proportions renfermant des inconnues, il faut, comme nous l'avons déjà remarqué, s'être assuré que les propositions qu'on applique ont lieu pour tous les nombres.

100. Pour donner des exemples de ce pfocédé de généralisation, cherchons les formules qui donnent les solutions générales de quelques-uns des problèmes précédents.

lOO SCIENCE DES NOMBRES.

Soit j une fractioji donnée, on demande la ^valeur

de X par la condition que - — -^ soit égal à une autre

fraction donnée -•, • "^ a

Cette condition s'exprimera par l'égalité

d'où, en réduisant au même dénominateur et égalant les numérateurs,

a.d -^- d.x -=z h .c -{- cx^

ce que l'on écrira ainsi :

ad -}- dx — - bc -i - c.r,

en convenant que deux lettres placées à côté l'une de l'autre, sans signe interposé, sont censées multipliées entre elles.

Jusqu'ici il n'y a eu aucune difficulté à reproduire les raisonnements faits précédemment sur des nombres particuliers; mais pour continuer il faut savoir lequel est le plus grand de c et de d. Supposant que l'on a c <^ <i, ex sera commun aux deux quantités égales, et, en le supprimant, ainsi que ad, on aura

X multiplié par d — c égal à bc — ad;

ce que nous écrirons ainsi :

X [d — c) ^= bc — ad^

en convenant, une fois pour toutes, que quand une expression quelconque sera mise entre deux parenthèses, on entend que c'est au résultat des opérations qui y sont indiquées que s'appliquent les autres indications extérieures.