CHAPITRE XIV. Il

celle des négatifs dans A ou B, ou même dans tous les deux ; il pourrait même arriver que la somme des termes négatifs fût supérieure à celle des termes positifs. Dans le premier cas, A ou B serait zéro; dans le second, après avoir ôté de l'ensemble des termes positifs un nombre égal, il resterait l'indication de la soustraction d'un nombre de rien, par exemple — 5. Quelles conséquences doit-on tirer des formes singulières que prend la formule ( 2 ) et qui sont représentées, les premières par

les secondes par

où nous désignons par M, N les nombres équivalents à l'excès de la somme la plus grande sur la plus petite, quelle que soit celle qui l'emporte dans A ou B? Nous allons examiner successivement toutes ces formes.

114. Nous dirons d'abord généralement que lorsqu'une proposition déduite d'autres propositions présente dans certains cas particuliers quelque chose d'obscur et quelquefois même d'inintelligible, ce n'est pas en elle-même qu'il faut l'étudier, et c'est malheureusement ce que l'on fait trop souvent. C'est aux propositions précédentes qu'il faut remonter; il faut examiner ce qu'elles deviennent dans ce cas particulier et quelles conséquences elles peuvent donner alors. Sans doute, il aurait mieux valu tout prévoir avant de tirer la conséquence générale, et alors rien n'aurait plus embarrassé ; mais, si on ne l'a pas fait d'abord, il faut le faire quand le besoin s'en fait sentir ; et c'est ainsi que nous allons éclaircir tout ce que les six expressions précédentes peuvent présenter de singulier.

1° Si dans l'équation (i) B se trouve égal à zéro, x doit

Il6 SCIENCE DES NOMBRES.

être tel, que multiplié par un nombre il donne un produit

nul; il est donc nul lui-même. La forme — indique donc

zéro.

2° Si A = o seulement, les termes en x se détruisent

dans (i) ; et B n'étant pas nul, l'équation est impossible. La

forme — annonce donc l'impossibilité de satisfaire à l'équation^ et par suite à la question dont elle était la conséquence.

3° Si l'on a à la fois A = o, B ==^ o, tous les termes se détruisent, quelque valeur qu'on suppose à x, et l'équation (i) sera toujours satisfaite; la forme -? que donne

dans ce cas la formule générale de x, annonce donc une indétermination complète. Tous les nombres conviennent à la question.

4^ Si, en effectuant les additions et les soustractions dans A et B, on trouve qu'elles sont possibles dans l'un, mais impossibles dans l'autre, parce qu'il resterait l'indication d'une soustraction à effectuer quand il ne resterait plus rien, d'où il résulterait qu'en faisant passer tous les termes dans un même membre la somme de deux quantités devrait être nulle, tandis que l'une des deux au moins ne l'est pas : il n'y a donc aucun nombre qui satisfasse à l'équation (i), et, si elle est une conséquence nécessaire de la question, celle-ci ne peut non plus être satisfaite par aucun nombre.

5° Enfin, si les deux expressions A et B sont négatives, c'est-à-dire si les soustractions sont impossibles dans l'une et l'autre, cela annonce seulement que dans l'ignorance oiî l'on^était des valeurs que devaient prendre dans ce cas particulier les lettres qui se trouvaient dans ces deux expressions, on a choisi les membres qui ne convenaient pas, pour y faire passer respectivement les termes connus et les termes inconnus. En reprenant le calcul et les faisant changer