CHAPITRE XV

FORMULES GÉNÉRALES POUR LES DIVERS CAS QUE PRÉSENTENT LES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A DEUX INCONNUES.

116. Nous avons donné un moyen d'obtenir des résultats indépendants des valeurs numériques des données des questions d'espèce quelconque. Ce moyen consiste à représenter ces données par des lettres, et à suivre la même marche que pour une question particulière de même espèce. Nous devrons donc dans le cas actuel représenter par des lettres les coefficients des inconnues x etj, ainsi que les termes tout connus, et appliquer la règle de résolution que nous venons d'indiquer.

Nous généraliserons ainsi sous le rapport des nombres ; mais, comme les équations comportent diverses combinaisons pour les signes des termes, il sera nécessaire d'avoir les formules générales des inconnues jc et j, pour les divers systèmes d'équations correspondant à ces différentes combinaisons de signes, réduites au plus petit nombre possible.

Nous pouvons toujours faire passer les termes tout connus dans un même membre où les soustractions soient possibles^ de sorte qu'il n'y a lieu de considérer que les diverses combinaisons de signes des membres qui renferment jr et J'y et dont encore on pourrait omettre celles où toutes les soustractions sont impossibles dans les premiers membres. Chacun de ces derniers donnerait ainsi trois combinaisons possibles de termes positifs et néga-

tifs, qui pourraient être considérées successivement avec toutes celles de l'autre. Il faudrait considérer ces neuf cas séparément, si l'on voulait distinguer la première équation de la seconde ; sans quoi il y en aurait quelques-uns qui rentreraient les uns dans les autres.

Nous allons chercher les formules qui se rapportent à quelques-unes de ces combinaisons de signes.

1° Considérons d'abord le cas le plus simple et le plus facile à retenir, celui où tous les termes sont positifs ; et soient les deux équations

( I ) ax -;- hj -nz. c,

En tirant la valeur de j de la première, et la reportant dans la seconde, on obtient

et il est facile de voir que le système des équations (i) et

(2) est équwalent à celui des deux suivantes:

( I ) ax -;- aj Tiz: c,

(3) a';r-f-6' (îll^V-^c'.

D'abord ce dernier, étant conséquence du premier, sera satisfait par les valeurs de x et y qui satisfont au premier. En second lieu, supposons que certaines valeurs mises pour X eij satisfassent à (i) et (3) ; il s'ensuivra d'après (i)

c — ax

que — j—^ sera égal à la valeur mise pour j>^, et par conséquent (3) apprend que, pour les valeurs substituées, la somme a x -\- h' y est égale à c', comme l'exige l'équation (2). Donc le système des valeurs substituées à a: et j^