CHAPITRE XVI

120. Comparons aux calculs du premier cas ceux qui se rapportent à toutes les autres combinaisons de signes ; et pour cela rendons-les aussi semblables que possible, afin que l'analogie qui doit exister entre les formules finales, ainsi que les dissemblances qui doivent s'y trouver, puissent être prévues et démontrées avant même que ces formules soient trouvées.

Commençons par la comparaison du second cas au premier, et assujettissons-nous à faire le calcul absolument de la même manière, à faire passer les termes correspondants dans les mêmes membres, même lorsque les soustractions y seront impossibles ; divisons par les coefficients correspondant à ceux par lesquels on a divisé dans le premier cas, même quand ces coefficients seraient précédés du signe — . La discussion gue nous avons faite des signes du numérateur et du dénominateur des formules tirées des équations à une seule inconnue ne permettra pas qu'il se trouve la moindre difficulté dans l'interprétation des résultats.

En agissant ainsi, nous rendrons les ressemblances et les dissemblances des deux calculs bien plus faciles à suivre jusqu'à la fin; et la division d'une quantité négative par une quantité négative nous représentera seulement le quotient des deux mêmes nombres sans signes, que l'on aurait eu à considérer si l'on avait fait passer les termes respectivement dans les membres différents.

Soient donc les deux systèmes d'équations

( I ) ax-^- byrz^c,

[1) a'x -^b'x=zc' ,

et

(a) ax — bj: c,

[P) a'x-i-by^c'.

En tirant de la première de chacun des deux la valeur

de Y, et laissant cette inconnue dans le premier membre, on aura

et

c—ax

en entendant que dans la seconde il faudrait changer le signe de ses termes pour que la division eût un sens.

Substituant dans les équations (2) et (S) ces expressions qui ne diffèrent que par le changement de ^ en — è, on aura les deux suivantes, qui ne différeront l'une de l'autre que par ce même changement :

et

Chassons maintenant le dénominateur dans l'une et dans l'autre ; la première deviendra

(5) bax-V-b'[c — ax)zzr.bc'.

Quant à l'équation (^) où l'on devrait changer de signe c — ax et — b, si l'on supprime le dénominateur — Z> et qu'on multiplie les termes a! x et d par b, puis qu'on change leurs signes, on aura une équation qui ne différera de la véritable que parce que tous ses termes seront changés de signe, ce qui ne peut donner de difficulté. Nous devons donc chasser le dénominateur — ^ en faisant les multiplications par — by d'après la règle des signes démontrée pour les polynômes, et qui n'aurait aucun sens dans le cas actuel. Nous aurons ainsi

(e) — ba'x-\-b'[c~'ax):=:~ bc' ',