CHAPITRE XVIII. l

effectuant toujours les opérations de la manière entendue. En continuant à remonter aux équations qui ont donné les valeurs des autres inconnues j, z, . . . , au moyen de x ou dej^ et x, et ainsi de suite, on reconnaîtra que les deux membres de chacune sont rendus identiques par les substitutions des valeurs positives ou négatives obtenues pour toutes les inconnues qui y entrent. D'où il résultera enfin que le système des équations proposées deviendra de même une suite d'identités par ces substitutions ainsi entendues. Cette constatation n'offrant aucune des difficultés que nous voulons prévenir, nous n'y insistons pas avec autant de détail qu'on le fera dans un enseignement classique. Il nous suffit d'avoir nettement indiqué le sens dans lequel notre proposition doit être entendue, et la marche qui en donnera sans peine la démonstration.

d'où proviennent les solutions négatives des équations DU premier degré.

137. Si les conditions d'un problème sont incompatibles entre elles, et qu'on ne s'en aperçoive pas en le mettant en équation, il peut arriver que la résolution de cette équation conduise à des soustractions impossibles. Si l'on s'est assuré que les équations sont bien des conséquences des conditions données, il n'y a pas autre chose à conclure que l'impossibilité de la question ; et quant au fait que la valeur négative satisfait, comme nous l'avons dit, à l'équation, il ne peut modifier en rien cette conclusion, puisqu'il est le résultat d'opérations qui n'ont pas de sens par ellesmêmes.

Mais si les conditions laissent certaines circonstances douteuses, et que pour mettre en équation on ait choisi celles qui ne conviennent pas, l'impossibilité trouvée peut

lO.

l48 SCIENCE DES NOMBRES.

annoncer seulement qu'on a mal choisi. On devra alors essayer si la question peut être résolue en prenant les conditions de l'autre manière ; et si elle ne l'était pas encore, la question proposée serait absolument impossible.

138. Quand on a fait le calcul pour la résolution de la question, d'après celle des hypothèses que l'on a choisie au hasard, il peut arriver qu'on n'ait pas besoin de le recommencer dans la seconde, et que le résultat du premier calcul permette de déterminer immédiatement celui du second.

Par exemple, si dans l'énoncé des conditions on laisse incertain si une quantité inconnue doit être ajoutée ou retranchée d'une certaine autre, et qu'on ait choisi l'hypothèse de l'addition, il est facile de reconnaître que, si dans les deux cas on a les mêmes opérations à faire, les résultats ne différeront de part et d'autre que par le changement de signe des termes qui renfermeront l'inconnue. D'où il suit que, si l'une des hypothèses conduit à une équation dont les deux membres soient de signes contraires, l'autre conduira à une équation qui ne différera de la première qu'en ce que ces deux membres auront les mêmes signes.

On voit donc que quand on se sera assuré, dès le commencement, de la similitude des opérations, il suffira toujours de faire le calcul dans une seule hypothèse. Car si l'on a choisi la vraie, on obtient la solution de la question proposée, et il n'y en a pas d'autre à chercher ; et si l'on a choisi la fausse, on en sera averti par la solution négative ; et cette dernière sera tout aussi utile que l'autre, puisqu'on sait qu'elle lui devient identique en supprimant le signe — .

139. Le cas que nous venons de supposer se présente très-souvent, et ne peut offrir aucune difficulté à celui qui