CHAPITRE XVIII. l

s'est rendu compte, dès le commencement, de l'ambiguïté des conditions, qui n'est pas toujours explicitement indiquée. Quant à celui qui a mal étudié ces conditions, l'avertissement qu'il reçoit à la fin le portera à remonter à l'origine, et la difficulté disparaîtra.

140. Pour en donner un exemple bien simple, supposons qu'on demande à quelle époque les âges de deux personnes, qui sont aujourd'hui a et è, sont dans le rapport de m à 7Z.

Il y a ici deux hypothèses à faire : ou que cette époque soit dans l'avenir, ou qu'elle soit dans le passé. Dans la première, si l'on désigne par x la distance de l'époque au moment présent, les deux âges seront devenus a-\-x Q\.h -^x\ dans la seconde, ils seront exprimés par a — x et h — x, La condition qu'ils doivent remplir s'exprimera donc dans le premier cas par

et dans le second par

Ces deux équations ne différant que par le signe des termes en Xj si l'une est satisfaite par un nombre substitué à x, l'autre ne le sera pas ; et si l'une est satisfaite par — un nombre, l'autre le sera par ce nombre même. Il suffît donc de faire le calcul pour une seule, par exemple pour l'équation (i). Si elle donne pour x un nombre absolu, cela apprendra que l'époque cherchée est dans l'avenir, et l'on connaîtra sa distance au moment présent. Si, au contraire, on trouve pour x — un nombre, cela apprendra que l'époque cherchée est dans le passé, et la valeur absolue du nombre négatif trouvé sera la distance de cette époque au

l5o SCIENCE DES NOMBRES.

moment présent. La valeur de x tirée de (i) sera

an — mb m — n

Si les deux termes de cette fraction sont de mêmes signes, l'époque sera dans l'avenir. S'ils sont de signes contraires, elle sera dans le passé.

Appliquons ce calcul au cas où les deux âges seraient 5 et 7, et le rapport demandé celui de 9 à i3.

La formule donnera, dans ce cas,

Ce résultat apprend donc que l'époque est antérieure de à l'époque actuelle.

Et, en effet,

comme cela devait être.

141. On doit conclure de ce qui précède que c'est par l'étude approfondie des conditions de la question qu'il faut tâcher de prévoir les différentes circonstances que les solutions pourront offrir, et alors toute difficulté est impossible. Si l'on n'a pu y réussir complètement, le résultat imprévu auquel on arrivera obligera à faire après ce qu'il aurait mieux valu faire avant.

Le point que nous traitons ici étant de la plus haute importance, et devant se généraliser beaucoup par la suite, nous allons résoudre, avec tous les développements qu'elle comporte, une question que l'on traite avec soin dans tous