PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA RENCONTRE DE DEUX MOBILES

142. Lorsqu'un point se meut uniformément sur une ligne indéfinie, et depuis un temps indéfini, on pourra déterminer sa position à une époque quelconque dans le passé ou l'avenir, si l'on connaît sa position à une époque connue, le sens dans lequel il se meut, et sa vitesse, c'est-à-dire l'espace constant qu'il parcourt dans une unité de temps.

Si l'on a des données analogues pour un second mobile, son mouvement sera de même entièrement déterminé. Le point de leur rencontre le sera donc aussi, ainsi que toutes les circonstances de leur mouvement relatif.

Mais la solution d'une quelconque des questions qu'on peut se proposer à ce sujet, par exemple celle de la rencontre des mobiles, est susceptible d'un grand nombre de cas diff'érents, donnant lieu à des calculs analogues, mais non identiques.

Ces divers cas seront déterminés par la position des deux mobiles à l'époque donnée, par le sens de leurs mouvements, qui peut être le même ou contraire, enfin par la grandeur de leurs vitesses respectives. L'époque de leur rencontre peut être dans le passé ou dans l'avenir, et la position de ce point peut être située de différentes manières par rapport aux positions primitives données.

Sans faire le dénombrement complet de toutes les combinaisons des données, qui conduisent à des calculs différents, on juge facilement de la peine qu'il faudrait prendre pour avoir les solutions de tous ces cas divers, qui par leur réunion formeraient la solution complète du problème proposé.

l52 SCIENCE DES NOMBRES.

On comprend ainsi combien il serait important de réunir en une seule formule toutes celles qui sont nécessaires pour la détermination du mouvement d'un seul mobile, dans les divers cas possibles. Car le mouvement de chacun d'eux étant déterminé par une seule formule, on n'aurait plus qu'un seul calcul à faire, et le résultat qu'il donnerait renfermerait les solutions de tous les cas que l'on était obligé de traiter séparément.

L'avantage que nous procurerait cette généralisation doit nous porter à chercher les moyens d'y parvenir; et c'est ce que nous allons faire avec tous les développements que demande une si importante question.

ÉQUATION DU MOUVEMENT UNIFORME d'uN POINT.

143. Soit A la position d'un mobile à une époque connue, à partir de laquelle nous compterons le temps [fig. i ).

Fig. I. ••

Supposons que le mobile se meuve dans le sens AX avec une vitesse ^ ; désignons par x la distance AM du mobile à un point fixe O, pris sur la droite qu'il parcourt; par t le temps écoulé depuis le moment où il était en A jusqu'à celui où il est en X; et par a la distance OA. Il est clair que X change avec t, et il s'agit de trouver la relation qui les lie l'un à l'autre.

Or, V désignant l'espace parcouru pendant l'unité de temps, l'espace AM parcouru dans le temps quelconque t sera vt, et l'on aura, par conséquent,

( I ) xz= a-\- vt.

Cette formule fera connaître l'une quelconque des deux