CHAPITRE XYIII

variables x eit quand l'autre sera donnée, mais seulement pour les époques qui suivront celle où le mobile était en A.

Considérons maintenant les époques antérieures à cette dernière ; le mobile ne sera pas encore arrivé en A, ce que nous exprimerons en disant qu'il était à gauche de A, en regardant AX comme la droite. Mais, d'après la position que nous avons supposée à l'origine O des x, le mobile pourra être en M' entre A et O, ou en M^' à gauche de O.

Dans le premier cas, si l'on désigne par tf le temps qui sépare l'époque que nous considérons de celle que nous avons prise pour origine des temps, nous aurons évidemment

[2) x =z a — vt'.

Dans le second cas, le mobile est en M'', et l'on aura

(3) OW —i>t' — a.

Ainsi les données étant que la position initiale A du mobile est à droite de l'origine O et que le mouvement a lieu vers la droite, il faut trois formules différentes pour représenter les positions du mobile, dans le passé comme dans l'avenir.

Mais n'est-il pas possible de réduire à une seule ces formules qui ne diffèrent que par des changements de signes dans les termes?

Or on aperçoit facilement que, si dans la formule (i) on remplaçait t. par — 1\ elle deviendrait (2), et que si l'on y remplaçait t par — t' et x par — OM'^ elle deviendrait (3 ), en y changeant tous les termes de membre. Mais il sera bien entendu que la multiplication de — t' par ^ se fera suivant les règles des signes démontrées pour le cas des polynômes, et qui n'auront ici aucun sens analogue, les signes que l'on suppose implicitement dans t et x n'ayant

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pas d'autre objet que de réunir les trois formules en une seule.

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : Les positions du mobile seront représentées, dans le passé comme dans l'avenir, par l'équation unique (i), aux conditions suivantes : pour toute époque dans l'avenir, t désignera l'intervalle de temps qui la sépare de l'origine ; et pour toute époque dans le passé, t désignera — l'intervalle, et cette quantité négative sera traitée suivant les règles démontrées par les quantités non isolées; pour toute position à droite de l'origine O, c'est-à-dire du côté qui est dans le sens du mouvement, x désignera la distance du point à cette origine ; et pour toute position à gauche, x sera considéré dans l'équation comme désignant — la distance.

On voit que l'introduction des quantités négatives isolées dans la formule (i), et qui correspond au changement de sens relativement aux origines respectives des temps et des distances, n'a rien d'arbitraire. Il n'y a d'arbitraire que le désir de réunir les trois formules en une seule ; mais le moyen est unique et forcé. Et il n'y a aucune règle à démontrer, aucun sens mystérieux à attacher à ces quantités négatives isolées : elles ne produisent la généralisation qu'à la condition d'être traitées suivant les règles établies pour les quantités non isolées.

144. La discussion que nous venons de faire renferme tous les cas où le point A est à droite de l'origine O ; il reste donc à examiner les modifications que subissent les formules quand ce point est à gauche (fig- 2).

Fig. 2.

Supposons toujours que le mouvement ail lieu vers la