CHAPITRE XVIII

droite. Nous aurons encore à considérer le point dans les trois régions OX,AO,AX', c'est-à-dire en M, M' ou M^

Dans le premier cas, on a

OM — AM — AO ou .r--t^^ — AO;

dans le second,

OM' = AO — vt-,

dans le troisième, en désignant par t! le temps antérieur à

l'origine,

OM'' =: AO -:- vt'.

De ces trois formules la seconde rentrerait dans la première si — OM' était désigné par x^ ce qui s'accorderait avec le procédé employé dans la première discussion relativement aux points situés à gauche de l'origine. Et cet accord était absolument nécessaire, car, pour qu'un moyen de généralisation soit admissible, il faut que les mêmes choses soient partout entendues de la même manière.

Enfin la dernière formule, dans laquelle on entendrait de même que — OM^' est désigné par x, rentrerait encore dans la première, en entendant que — • l! soit désigné parf, comme nous l'avions déjà fait dans la première discussion. On conclut de là qu'en entendant toujours les signes de x et t de la même manière, toutes les positions du mobile sur la droite indéfinie seront représentées par l'équation

unique

x z=z vt — OA.

Maison voit aussi que cette équation rentrerait dans (i), si l'on entendait que a y est remplacé par — OA quand le point A est situé à gauche de l'origine des x. Et c'est ce que nous pouvons faire, car c'est toujours entendre que dans la formule type les lettres doivent être remplacées par

l56 SCIENCE DES NOMBRES.

— les quantités, quand celles-ci sont en sens contraire à celui qui a été supposé quand on a obtenu cette formule.

14-5. Nous avons donc découvert un moyen de renfermer dans la seule équation (i) toutes les variétés que peut présenter la relation entre le temps et la distance, quelle que soit l'époque que l'on veuille choisir, et quelque part que soit situé le mobile à l'instant que l'on choisit comme origine des temps.

Mais il faut aussi reconnaître que nous n'avons pas encore trouvé la solution la plus générale ; car nos discussions ont toujours supposé que le mouvement avait lieu dans une même direction, celle que nous avons appelée de gauche à droite.

Il nous reste donc à examiner les cas analogues aux précédents, en supposant que la direction du mouvement soit de droite à gauche.

Cette discussion est si semblable à la précédente, que nous croyons inutile de la faire avec autant de détail.

Fifî. 3.

Soient toujours O l'origine des distances, A la position du mobile, pour t = o {fig. 3). Sa position après cette époque sera à gauche de A, puisqu'il marche vers la gauche.

En le considérant d'abord entre A et O, on aura évidemment, en désignant par j/ la valeur absolue de sa vitesse,

Quand il aura dépassé O, l'équation n'aura plus la même forme; mais elle rentrera dans (a), en supposant toujours que X est remplacé par — OM'.

E\ dans le temps antérieur à l'origine, le mobile sera à