CHAPITRE XVIII. l

droite de A, et l'on aura encore une nouvelle forme d'équation qui rentrera de même dans (a), en entendant que dans celle-ci t est remplacé par — l'intervalle de temps qui sépare l'époque en question de l'origine.

Le procédé de généralisation employé précédemment permet donc de représenter par l'équation (a) toutes les circonstances du mouvement du point qui marche vers la gauche, et est en A, à droite de l'origine O, dans sa position primitive.

On reconnaîtrait, comme précédemment, que cette même équation représente le mouvement dans le cas où le point A serait à gauche de O, pourvu que dans [cf.) a soit alors remplacé par — la distance absolue. D'où résulterait enfin que l'équation (a) représente de la manière la plus générale le mouvement d'un point vers la gauche, les signes de Xy t, a étant toujours entendus de la même manière.

Il résulte de là que tous les mouvements possibles seraient représentés par deux équations différentes

(l) xT-a-^vt,

Or il est clair que la première donnerait la seconde, en y remplaçant v par — v\ c'est-à-dire en entendant que dans l'équation ( i ) p' est le nombre absolu qui exprime la vitesse, quand le mouvement a lieu vers la droite, et qu'il doit être remplacé par — ce nombre quand le mouvement a lieu en sens opposé.

146. Nous pouvons donc dire maintenant que nous représentons par la seule équation

( I ) xz=z a-\- vt

le mouvement uniforme d'un point sur une droite dans toutes les variétés de circonstances qu'on pourra supposer.

l58 SCIENCE DES NOMBRES.

Il suffira pour cela de considérer les quatre lettres x, a, Vj t comme représentant des nombres absolus ou des nombres affectés du signe — , et qui devront être traités par les règles démontrées dans le cas des polynômes. Voici maintenant comment ces signes devront être introduits.

t désignera un nombre absolu d'unités de temps pour les époques dans l'avenir, et — un nombre pour les époques dans le passé.

X désignant le nombre absolu d'unités de longueur, pour les distances des points situés d'un côté de l'origine choisi arbitrairement, a el v^ seront aussi des nombres absolus quand la position initiale du mobile et le sens de son mouvement seront de ce même côté : et les quantités x, a, ^ désigneront — des nombres quand le sens sera opposé. Et toute solution de l'équation ( i ) en nombres absolus ou négatifs fera connaître l'époque et la position, comme l'aurait fait la formule spéciale à ce cas .

Surtout il ne faut pas oublier que, cette généralisation ayant été démontrée à la condition que toutes les quantités négatives isolées qui seront ainsi introduites seront traitées par les règles des signes démontrées pour les polynômes, il n'y a aucune question à se faire à ce sujet.

147. Solution générale du jyrohlhme de la rencontre de deux mobiles. — Il est bien facile maintenant de trouver les formules générales relatives à la rencontre de deux points qui se meuvent uniformément suivant une même ligne indéfinie, dans des sens et avec des vitesses quelconques, et ayant des positions quelconques à l'époque prise pour origine des temps.

En effet, les deux mouvements seront déterminés respectivement par les deux équations générales

xzziz a ~\- vt^ x'=ia' -h v'e.