CHAPITRE XIX

DE QUELQUES TENTATIVES DE DÉMONSTRATION, RELATIVES AU CALCUL DES QUANTITÉS NÉGATIVES ISOLÉES.

149. Dans ce qui précède, nous n'avons introduit la considération des quantités négatives isolées que pour généraliser des formules, et renfermer en un seul les résultats différents de plusieurs calculs analogues. Ces quantités négatives ont été tantôt des données, tantôt des inconnues;^ et, dans tous les cas, la généralisation étant obtenue à la condition de les traiter de la même manière que si elles n'étaient pas isolées, il n'y avait aucune règle à démontrer, et la recherche de ces règles n'aurait eu absolument aucun sens.

Quant à l'interprétation des valeurs négatives des inconnues, elle ne pouvait ofïVir aucune difficulté, puisque tout était prévu dès l'origine, et qu'on savait ce qu'indiquerait leur apparition.

Mais, quoiqu'on ait toujours reconnu que les quantités négatives pouvaient généraliser certaines formules, on ne s'est pas toujours assujetti à le démontrer; et des géomètres éminents ont cru possible de démontrer, pour le calcul de ces quantités, des règles qui dispenseraient de toute discussion particulière. Nous allons en indiquer quelques-unes, et l'on reconnaîtra facilement combien elles sont illusoires.

150. Démonstration de Laplace . — On trouve les passages suivants dans la première leçon faite à l'École Normale par ce grand géomètre :

« Pour soustraire une quantité algébrique d'une autre,

D. — Se. de rais. y 2* Part. I I

on écrit, à la suite de la quantité dont on soustrait, la quantité à soustraire, en changeant les signes de tous ses termes, ensuite on fait la réduction. Cette règle est évidente quand le nombre à soustraire a le signe -f- ; supposons qu'il ait le signe — et que l'on propose de soustraire — Z> de a; je dis que le résultat de l'opération est a -{-h. En effet, le nombre a = a-\~ b — b\ en retranchant — h sous cette forme, c'est évidemment effacer — è, et alors il rester H- ^.

)> Pour effectuer la multiplication, si le multiplicande et le multiplicateur ne renferment qu'un terme, on multiplie leurs coefficients numériques, on ajoute les exposants des lettres semblables

» Quant au signe du produit, il doit être positif, si les signes du multiplicande et du multiplicateur sont les mêmes; s'ils sont différents, le signe du produit doit être négatif. Cette règle présente quelques difficultés ; on a de la peine à concevoir que le produit de — a par — h soit le même que celui àea par b. Pour rendre cette identité sensible, nous observerons que le produit de — a par -}- b est — ab, puisque ce produit n'est que — a répété autant de fois qu'il y a d'unités dans b. Nous observerons ensuite que le produit de — a par b — b est nul, puisque le multiplicateur est nulj ainsi le produit de — a par H^ b étant — abj le produit de — a par — b doit être d'un signe contraire, ou égal à -f- aZ>, pour le détruire.

» Quant à la division, si le dividende et le diviseur ne renferment qu'un seul terme, on divise le coefficient numérique du dividende par celui du diviseur, etc. Enfin on donne au quotient le. signe -4- ou le signe — , suivant que les signes du dividende et du diviseur sont les mêmes ou contraires. Tout cela résulte de ce que le produit du quotient par le diviseur est égal au dividende. »

Dans tout cela Laplace suppose les quantités négatives isolées; et si d'abord il considère la soustraction d'un po-