CHAPITRE rmîMiicti. l

seraient en équilibre quand on les appliquerait seules sur le svslèmc; il faut toujours, pour avoir le droit de les supjjrinier, reconnaître qu'elles ont fait naître dans le système les mêmes résistances que si elles étaient seules; alors, en les supprimant, les autres forces sur lesquelles les précédentes n'agissaient pas, puisqu'elles étaient détruites indépendamment d'elles, resteront en équilibre : ce que toutes les expériences confirment.

Cette condition nécessaire pour la suppression d'un groupe de forces n'est pas toujours facile à reconnaître, et est suppléée par le principe suivant :

12. ïiioisiÈME TRixcirE. — Oii pciU ^ scuis détruire l'équilibre, supprimer un groupe de forces telles, que des forces respectivement égales et appliquées aux mêmes points en sens contraire, seraient en équilibre si elles existaient seules sur le système.

En effet, d'après le principe précédent, on ne dérangera pas l'équilibre primitif en introduisant ces dernières forces ; mais, chacune d'elles détruisant la force égale et contraire appliquée au même point, on peut les supprimer l'une et l'autre en chaque point sans déranger l'équilibre, et il ne reste plus que les forces primitives, moins le groupe en (juestion.

Il est à remarquer que l'on peut ainsi supprimer un groupe de' forces qui ne serait pas en équilibre sur le système s'il y existait seul. 11 est suffisant que le groupe composé de forces respectivement contraires soit en équilibre s'il existe seul sur le système : toutefois, cette condition n'est pas indispensable, et nous le montrerons toul à r heure.

Ces principes très généraux sont d'une grande utilité, à cause des transformations sans nombre qu'ils permettent de faire.

«4 '>K I/ÉQLIMBKK DKS FORCES.

Remarque. — Quelque rigides que soient les corps, les forces qu'ils détruisent opèrent toujours de petits changements dans la position relative de leurs molécules. On n'en tiendra ici aucun compte; et l'on supposera que des forces qui se font équilibre sur un corps, et qui ont, par cela même, dérangé tant soit peu ses molécules, s'v feraient encore équilibre si, par des moyens quelconques, on pouvait rendre ce corps assez rigide pour que le dérangement fût encore bien pins insensible et même nul.

EXEMPLFS m: F.' VPI'MnVTIOX DES PIUXCIPES PRÉCÉDENTS.

13. Avant daller plus loin, nous allons montrer, par un exemple très simple, combien il est nécessaire d'avoir égard à l'observation que nous avons faite au sujet du second des principes précédents, et comment cette difficulté disparaît par l'application du troisième.

Soient A et B {fig. i ), deux points liés de telle sorte, ([u'ils ne puissent s'éloigner l'un de l'autre, mais qu'ils l-ig. , puissent se rapprocher. Que l'on applique au .p point A deux forces égales et contraires P, P' dans la direction de la droite AB, et que l'on applique à B deux forces Q, Q' égales aux premières, et agissant .!>' aussi en sens contraire suivant la ligne AB; il v aura équilibre dans le système, puisqu'il y a équilibre en chaque point. Or les deux forces P, Q' seraient en « équilibre si elles agissaient seules sur le système AB, et cependant on ne peut les supprimer sans perdre l'équilibre des quatre forces, car il resterait les -^' deux forces P' et Q, (jui ne se détruiraient pas, puisque les doux points A et B peuvenl.se raj>procher, j^ar hvjJOlhèse. Or il est facile de reconnaître que le groupe P, Q' ne rentre dans aucun des deux cas «(ue nous avons indiqués précédemment, comme permettant la suppression.

ClIAI'ITRi: PRK.MIKK. l5

l-.n premier lieu, les deux forces P, Q ne se détruisent pas eireclivement, et ne |)roduisent pas sur AB reflort (pi'elles produiraient si elles y étaient seules appliquées, r.a force P est détruite par P' et n'agit que sur le point A : il en est de même des forces Q, Q' en B, et il n'en résulte aucune action entre les points A et B, qui ne cesseraient pas d'être en équilibre quand même il n'existerait aucune liaison entre eux.

En second lieu, les forces P' et Q, égales et opposées à P et' Q'; ne seraient pas en équilibre si elles agissaient seules sur le système, puisque les points A et B peuvent se rapprocher.

Donc enfin on ne pourrait affirmer qu'en supprimant les forces P et Q' on ne détruirait pas l'équilibre; et nous avons vu qu'effectivement il se trouvait détruit par celte suppression.

Cet exemple montre donc que, dans un système en équilibre, on ne peut pas toujours supprimer un groupe de forces qui serait en équilibre sur le système s'il y était seul. Et il montre aussi qu'on peut supprimer un système qui ne serait pas en équilibre s'il était seul sur le système, mais qui est tel que le système opposé serait en équilibre s'il v était seul. On peut en effet supprimer les deux forces P' et Q qui ne seraient pas en équilibre sur le système, mais sont telles que les contraires v seraient.

14. On peut donner aussi un exemple bien simple de ce que nous avons avancé dans le troisième principe, savoir qu'o/î peut quelquefois supprimer un système de forces tel que le système contraire^ existant seul, ne serait pas en équilibre. Il suffit pour cela de considérer le système P, Q', existant seul sur AB. On peut évidemment le supprimer sans que le système cesse d'être en repos, et cependant le système des forces opposées P', Q, existant seul, ne serait

c6 DE l'Équilibre des forces.

pas en équilibre sur AB; mais les forces que Ton supprime sont effectivement détruites par la résistance du système. Cette remarque peut être énoncée d'une manière différente en observant que supprimer un svstème de lorces, c'est introduire le système contraire. On aura alors la proposition suivante :

On peut quelquefois introduire un groupe de forces qui ne serait pas en équilibre sur le système.

IS. Remarque. — On tire des considérations précédentes cette conséquence, que, si l'on introduit des forces dans un système, on ne peut pas toujours affirmer que leur effet sera le même que si l'on avait préalablement introduit certaines autres forces qui n'auraient pas détruit l'équilibre, mais qui cependant pourraient avoir de l'influence sur celles qu'on applique en dernier lieu. Et pour cette raison on ne peut, sans examen, conclure l'effet de forces introduites dans un système où l'on aurait légitimement remplacé un groupe par un autre. Un exemple bien simple le prouvera sans réplique.

Soit une force P appliquée à un point A d'un corps éminemment flexible, mais inextensible AB, ayant tous ses Fig. 2, points en ligne droite {fig. 2). Introduisons suivant la droite AB deux forces P', P" égales à P et de sens opposés. L'effet de la force P sur le système ne sera pas modifié, soit qu'il y ait équilibre ou non, pourvu que le corps reste constamment dans les conditions primitives qui ont permis 1 introduction de P', P". Or, si l'on applique en B une lorce égale et contraire à P", les quatre forces se détruisent, tandis qu'il en aurait été autrement si Ion avait appliqué la dernière force avant rinlroduction de P', P".

Nous reconnaîtrons bienlùt que les mêmes réserves ne

flIAPITUE PREMIKR. I7

se rencontrent pas, dans les systèmes rigides, que dans ceux dont les liaisons comportent des changements de forme ou de disposition. Mais il faut prendre garde, dès le commencement, d'attribuer aux principes une trop grande généralité.

CHANGEMENT DU POINT d'aPPLIC.VTION d'uNE FORCE.

16. Lorsqu'une force P est appliquée à un point libre A, nous allons démontrer qu'on peut, sans changer son effet, quel qu'il soit, l'appliquer à tout autre point B de sa direction, si ce point est lié invariablement au premier.

Et il n'est même pas nécessaire que cette liaison soit aussi complète.

Si, par exemple, le point B est situé par rapport à A du côté où s'exerce l'action de la force P, il suffit que la distance AB ne puisse augmenter; ce qui sera le cas, par exemple, où ces deux points seraient liés par un corps extrêmement délié, éminemment flexible et inextensible. Nous donnerons dorénavant le nom de fil à un pareil corps, et no s le considérerons comme n'ayant de dimensions que dans le sens de la longueur, et prenant sans résistance toutes les formes possibles, en conservant la même longueur. Nous considérerons plus tard des fils élastiques, qui sous l'action des forces peuvent changer de longueur.

Si, au contraire, le point B était de l'autre côté de A, suffirait que la distance AB ne pût diminuer.

Pour le démontrer, dans le premier de ces deux derniers cas, appliquons aux extrémités de la droite inextensible AB (y?^. 2) deux forces égales à P, et agissant suivant la droite AB dans les directions AP', BP"; elles se détruiraient si elles étaient seules sur le système, et par conséquent leur introduction est permise. Mais les deux forces égales P, P', appliquées au même point en sens contraires, se détrui- Duii. — Méth. IV. 2

i8 nE l'équilibre des forces,

.sent, et il ne reste plus que la force P', qui n'est autre que la force P transportée au point B de sa d-rection.

On raisonnerait d'une manière analogue si le j)oint B était situé de l'autre côté du point A, et que la distance AB ne pût pas diminuer.

Les raisonnements précédents ne seraient plus applicables dans le cas où, le système des points étant variable, la distance AB ne resterait pas la même.

Entin si les conditions respectives de ces deux cas sont réunies, c'est-à-dire si les points A et B sont invariablement liés l'un à l'autre, comme cela arrivera, par exemple, s'ils font partie d'un système rigide, on pourra transporter la force en un point quelconque de sa direction, supposé toujours invariablement lié au système.

Remarque. — Il est important d'observer que, quand on a fiKé des points, ou introduit toute autre espèce de liaison dans un système en équilibre, on peut supprimer des forces telles, que les contraires seraient en équilibre sur le système modifié. C'est une conséquence immédiate du troisième principe.

Si, par exemple, dans un système rigide, on fixe un de ses points, on pourra supprimer toutes les forces dont la direction passera par ce point, puisque les contraires appliquées en ce point seraient détruites.

Si, au lieu de fixer un point du système, on en fixe deux, et par suite tous ceux de la droite qui les joint, soit qu'ils appartiennent d'abord au système, soit qu'on les y introduise et qu'on les lie invariablement aux autres, on pourra supprimer toutes les forces dont la direction rencontrera cet axe fixe, puisque chacune d'eUes peut être appliquée à son point de rencontre qui est fixe.

17. PostuUtdmi. — -Nous venons de voir (pie (juand un système rigide avait un point (l\e autour du((uel il pouvait