CHAPITRE Mil

par suite les volumes des couches, seraient dans ce même rapport.

Maintenant, si nous divisons le volume de chaque élément de la couche Ee par la distance au point M qui est situé sur E', et le volume de chaque élément de EV par sa distance au point ni homologue de M, qui est situé sur la surface E, ces deux distances étant égales, d'après les propriétés démontrées précédemment, les quotients correspondants seront entre eux comme les éléments eux-mêmes, ou comme les produits des trois axes des ellipsoïdes correspondants; d'où il suit que la fonction désignée par \^ (n° 133), relative au volume Ee et au point M, est à la fonction ^ ', relative au volume E't?' et au point wi, dans le rapport des produits des trois axes de E et des trois axes de E'.

Si maintenant on déplace le point M sur l'ellipsoïde E', m se déplacera sur E, et V sera invariable, puisque le point m reste dans l'intérieur de e"; et par suite, V le sera luimême, puisque son rapport à V est toujours le même. D'où il suit que E'estune surface de niveau relativement à l'attraction de la couche Ee; c'est-à-dire que la résultante de l'attraction de la couche Ee sur un point quelconque M de E' est normale à cette surlace.

Cette proposition avant lieu pour toute autre couche dans les mêmes conditions que Ee, correspondant à une même couche E'e', aura lieu pour cette dernière. Donc l'action sur M sera aussi normale à l'ellijjsoïde E'.

Maintenant, pour avoir les composantes respectives de l'action des couches Ee, E'e' sur M, il faudrait dilTérentier successivement les fonctions V, ^ ' par rapport à x, 6, y, coordonnées de M, jet l'on obtiendrait ainsi des dérivées dont les rapports respectifs seraient celui des fonctions mêmes \ et V, ou des produits des axes des ellipsoïdes E, E'; d'où se déduit cette proposition due à M. Chasles :

Pour connaître V action cl' une couche injinimcnt mince

2o8 DE I, EQVIUBRK DES FORCES.

comprise entre deux ellipsoïdes semblables sur un point extérieur, il suffit de calculer celle qu'exerce sur le même point une couche homofocale de même matière^ dont la surface extérieure passe par ce point. Les résultantes de ces actions auront la même direction, normale à V ellipsoïde qui passe par ce point, et seront entre elles comme les volumes des couches, ou comme les produits des axes des ellipsoïdes correspondants.

Si l'on considérait une autre couche E"e" homofocale avec Ee, on aurait une conséquence semblable, et. en éliminant ce qui appartient à Y! e' , on verrait que les actions des couches Ee, Y!' e" sur M sont de même direction et proportionnelles aux produits des axes de leurs surfaces extérieures ou de leurs surfaces intérieures.

lo4. Noiaelle démonstration du théorème de Mac- If /u/ in .

Le théorème précédent étant démontré. M. Chasles a lait voir comment on en pouvait déduire bien simplement celui de Maclaurin.

Il s'agit de comparer les actions de deux ellipsoïdes homofocaux homogènes, dont les demi-a\es sont a. b, r et A, B. G sur un même point M extérieur aux deux.

Pour cela on décomposera l'un d'eux par des surfaces ellipsoïdes semblables, inliniment \oisines, et le second par des surfaces ellipsoïdes semblables entre elles et honiulocales avec celles du premier; les axes de lU'ux surfaces rorrespondanles seront les mêmes que pour les suivantes, et par suite (jue pour celles des ellipsoïdes donnés. Deux couches homofocales correspondantes donneront sur M des actions de même direction, cl proportionnelles aux produits des axes de leurs surfaces correspondanles, et pur coum'- (juent aux produits abc, AHC^.

Cette direction changera avec les couches, nuiis sera

CIIAl'ITRE XIH. 209

toujours la même pour deux couclies correspondantes, et le rapport des forces qu'elles produisent sera toujours celui de abc à ABC. D'où il suit qu'en composant séparément toutes ces forces passant par M, pour chacun des deux ellipsoïdes proposés, on aura des résultantes de même direction et dont les intensités seront dans le rapport des produits «6c, ABC, ou des volumes des ellipsoïdes.

De là résulte celte conséquence qui n'est autre chose que le théorème de Maclaurin :

Deux ellipsoïdes homogènes homofocaux exercent sur un même point extérieur des actions de même direction et proportionnelles à leurs volumes.

Et, comme on aies expressions des composantes de l'attraclion d'un ellipsoïde sur un point de sa surface, il suffira, pour obtenir l'action d\in ellipsoïde homogène sur un point extérieur, de faire passer par ce point un ellipsoïde homofocal et de multiplier les composantes de son attraction sur ce point par le rapport des volumes du premier ellipsoïde et du second.

M. Chasles ne s'est pas borné à donner cette nouvelle démonstration du théorème de Maclaurin, il est parvenu, au moven de considérations géométriques, à l'expression des composantes de l'attraction dune couche ellipsoïdale sur un point extérieur, et, en faisant l'intégration relativement à toutes les couches d'un ellipsoïde, il a obtenu directement k's formules des composantes de l'attraction de l'ellipsoïde entier, auxquelles on était déjà parvenu par les procédés que nous avons fait connaîtie.

Nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet, qui est traité avec détail dans les Ouvrages spéciaux. Nous nous sommes même peut-être un peu trop étendu sur cette théorie ; mais son utilité dans les questions importantes de la Mécanique céleste, expliquera suffisamment, je l'espère, la longueur de ces développements.

Dm. — Me th. IV. i4