AUTRES SOLUTIONS DU PROBLÈME DE L'ATTRACTION DES ELLIPSOÏDES

La théorie que nous venons d'exposer est complète et connue depuis longtemps. L'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point de la surface v est ramenée au plus grand degré de simplicité dont elle soit susceptible. L'attraction sur un point extérieur s'en déduit immédiatement, soit par le beau théorème d'Ivorv, soit par celui de Maclaurin ; et ce dernier pouvait être démontré dans toute sa généralité, soit d'après celui d'Ivory, soit directement par la remarquable analyse de O. Rodrigues. Nous pourrions donc nous borner à ce qui précède; mais nous ne croyons pas pouvoir nous dispenser de dire quelques mots des importants travaux de M. Chasies sur le même sujet; on en trouvera l'exposé complet dans les Traités de Mécanique.

lo2. Lemme. — Si l'on considère deux ellipsoïdes semblables E, e, et d'une autre part deux ellipsoïdes E', e\ semblables entre eux, mais non aux premiers, et ayant entre leurs axes les mêmes rapports que les premiers, si E et E' sont homofocaux , e et e' le seront aussi.

Nous donnerons le nom de couches homofocales aux volumes compris respectivement entre les ellipsoïdes E, c et E', e . En effet, en passant de E à c, les dislances focales ont varié dans le même rapport que les axes de ces ellipsoïdes semblables, et il en sera de même dans le second système. Or le ra]>port des axes est le même dans les deux

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systèmes; il en sera donc de même des rapports des excentricités, donc ces excentricités étant les mêmes pour E et E', elles le seront pour c cl e' .

Il est inutile de dire qu'aucun autre ellipsoïde que e' . semblable à E' ne pouvant. être homofocal avec <?', ne pourra l'être avec e. On voit aussi que, réciproquement, si les ellipsoïdes E, E' sont homofocaux, e et e' le sont aussi: que le rapport des axes de E et e sera le même que pour E' et e' . et que, par suite, le rapport des diflerences des axes à ces axes mêmes sera le même.

153. Béduction de /'attraction d'une couche ellipsoïdale sur un point extérieur.

Considérons une couche terminée par deux surfaces ellipsoïdes semblables E, ^, telles que les différences de leurs axes homologues soient infiniment petites ; nous allons ramener son action sur un point extérieur ^I à celle qu'exercerait sur ce point une autre couche, dont la surface extérieure passerait par iNI et serait avec la première dans les conditions du lenime précédent.

Désignons par E', et e' les deux surfaces semblal)les et homofocales respectivement avec E et e qui terminent cette couche, dont la première E' passe par M.

Les surfaces E et E' étant considérées comme correspondantes, les surfaces e et e', pour lesquelles le rapport des axes est le même que pour E et E', seront aussi correspondantes dans le même svstème. D'où il suit que, si l'on décompose la couche Ee en éléments infiniment petits dans tous les sens, terminés |>ar des surfaces que]con(]ues, les surfaces correspondantes partageront la couche K'r'en éléments dont le rapport avec les premiers sera le produit des trois rapports des coordonnées de même nom; et, par conséquent, ces éléments seront comme les produits des trois axes des ellipsoïdes correspondants : et leurs sommes, el