MN

temps, ou — — -, exprimera la vitesse moyenne avec laquelle

cet arc a été décrit; cest-à-dire que ce serait l'espace parcouru pendant l'unité de temps, en supposant le mouvement uniforme, et tel, que l'arc MN fût parcouru pendant

aîo DU MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

le temps 0. Si maintenant on suppose que 0 diminue indr-

tiniment, la vilesse moyenne — — variera en mcme temps

et tendra vers une limite déterminée, et c'est cette limite q4ie nous appellerons la l'itesse du mobile au point M.

Ainsi, pour employer le langage reçu dans le Calcul infinitésimal, on appelle vitesse d'un mobile, à un instant donné, la vitesse moyenne, ou simplement la vitesse, avec laquelle il décrit un arc infiniment petit, à partir de cet instant. Et nous appellerons direction de cette vitesse celle du mouvement du point sur la courbe, laquelle, d'après la discussion que nous avons faite dans la Géométrie, est la direction de la tangente à la trajectoire.

Si l'on désigne par t le temps, et par s la longueur des

arcs de la ligne décrite, à partir dune origine arbitraire,

la limite du rapport — — n est autre chose que -^- Ainsi la

vitesse en un point quelconque du mouvement curviligne

est exprimée par la première dérivée de l'espace parcouru,

par rapport au temps. Et les vitesses des projections tlu

, djc dy dz „ ,

point sur les axes seront -t-» -^-j —t- v)n les nomme par ' dt dl dt •

analogie les composantes de la tntesse sunant les axes.

167. Il est bon de remarquer que ."arc décrit dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de ce temps par la vitesse du mobile au commencement de ce petit intervalle; car cet arc serait rigoureusement le produit de ce temps par la vitesse moyenne relatiAC à cet intervalle, et celle vitesse movenne dillèro (rune (piaiilité infiniuMMil j)Otit(', de ce (jiie nous avons aj>pelé vilcssi' au comnieiiceinenl d(; Tintervalle. Il est évident (jue l'on pourrait encore prendre In vilesse à une époque qiielcoiupie du niénic iiiIcM-yalle. Le résultat ainsi obtenu ne ilKVérera

CllAPITRn: H. 23l

jamais de celui que Ton cherche, que d'une quanlilé infiniment petite par rapport à hii-même et pourra par conséquent hù être substitué toutes les fois que Ton n'aux-a à considérer que des limites de rapports ou de sommes.

Ainsi, par exemple, Tespaee parcouru dans un temps fini sera la limite de la somme des produits des éléments infiniment petits de ce temps, par les vitesses correspondant aux commencements de ces éléments. La vitesse, telle que nous venons de la définir, joue donc le même rôle dans le mouvement varié, que la vitesse premièrement définie, dans le mouvement uniforme, pourvu que l'on ne considère que des temps infiniment petits; et c'est à cause de cette (inalogie, quil était comenablc de lui donner le même nom.

1G8. Mouvement rectiligne varié. Accélération. — Le mouvement varié le plus simple est celui où les changements de la vitesse sont proportionnels aux accroissements correspondants du temps. On le dit uniformément varié, ou uniformément accéléré, en entendant que raccroissement de la vitesse peut être positif ou négatif. Nous ne le considérons pour le moment que dans le cas où le point se nunit en ligne droite.

Dans un j)areil mouAcmcnt, on appelle accélération raccroissement positif ou négatif de la vitesse, dans l'unité de temps. Quand elle est donnée, on en déduit facilement raccroissement de vitesse dans un temps quelconque.

Cette notion peut recevoir une extension analogue à celle que nous avons donnée à la vitesse et s'appliquer à un mouvement varié quelconcpie.

En cifet, désignons par Av l'accroissement de vitesse que prend le point, à partir d "un instant quelconque, lorsque le temps croît de \t, et imaginons un mouvement uniformément accéléré dans lequel la vitesse serait la même que

232 DU MOLVEMEM PRODIIT PAR LES FORCES.

celle du mobile au premier instant, et qui aurait une accélération telle, que la vitesse croîtrait de même de i\v dans le temps A^; celle accélération moyenne sera mesurée,

a après ce qui précède, par — et tendra vers une certaine

limite à mesure que A^ tendra vers zéro.

Celte limite est ce que Ton appelle V accélération dans

le mouvement proposé, à l'instant que Ton considère. Son

expression est

ch- d-.r

-7- ou -^-T' dt dt"

Et il est facile de voir qu'elle jouera le même rôle dans le mouvement varié en général, que dans le mouvement uniformément accéléré, pourvu que Ton ne considère que des intervalles infiniment petits. En effet, si A^ est infiniment petit, on aura

Ar

dK-

~ dt

dv ~ dt

sA/.

Donc l'accroissement At^ de la vitesse ne diffère de -7- Af

dt

que d'une quantité infiniment petite par rapport à Ae, et (jiii pourra être négligée toutes les fois qu'on ne considérera qu(; des limites de sommes ou de rapports. Donc, dans tous les cas de ce genre, l'accroissement inlinimenl petit île vitesse pourra être calculé comme si le mouvement était uniformément accéléré, et que l'accélération de ce mouvement fut égale à ce que nous avons appelé \ accélération ilans le mouvement \arié en question.

Ilcmai fjnr. — Il est hou de remanpifr tpie nous avons consld<'rr de deux luanièrcs f«irl dillVrentes un mouvement varié (pidconcpie, comme limite de mouvements successifs,